Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 6 из 15)

Порядок факторгруппы

равен
, и
делится на
. Так как
, то
делит порядок
. Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.

Следовательно,

содержит подгруппу
. Так как
--- циклическая силовская подгруппа в
, то
--- простая группа и по индукции
,
или
, где
--- простое число. Так как
,
разрешима, a
, то
. Теперь
изоморфна некоторой подгруппе из
. Если
или
, то
или
.
допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа
не допускает требуемой факторизации. Если
--- простое число, то и
--- простое число. Так как
, где
, то
. Противоречие.

Таким образом,

--- простая группа.

Предположим, что силовская 2-подгруппа группы

абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа
может быть изоморфной только одной из следующих групп:
,
или
, группе Янко порядка 175560 или группе
типа Ри. Из групп
для указанных
лишь группы
или
, где
--- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы
делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому
неизоморфна
.

В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в

неабелева. Так как порядки
и
взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа
из
содержится либо в
, либо в
. Если
, то
и группа
изоморфна
для некоторого
. Но в этом случае
, поэтому
,
и
делит
. Так как
, то
делит
. Но порядок
делится на
, а значит, и на
. Противоречие.

Следовательно,

. Теперь
,
,
--- инвариантное 2-дополнение в
. Если
, то
и
ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому
,
--- элементарная абелева
-группа и
--- показатель числа
по модулю
. Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что
. Противоречие.

Значит,

. Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
--- силовская подгруппа из
, содержащая
;
;
. Так как
, то
и
разрешима. Кроме того,
и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3))
не содержит подгрупп инвариантных в
. Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что
. Так как
и
, то и
. Таким образом,
.