Пусть
. Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие. Теорема доказана.ЛеммаПусть --- простое число, делящее порядки групп и . Если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, то группа непроста.
Доказательство. Пусть
--- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в [??].Пусть
инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля [??] группа непроста.Пусть
неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая собственная подгруппа из инвариантна в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А. Чунихина.Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
ТеоремаПусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда
нильпотентна.ТеоремаПусть --- неразрешимая группа, где --- группа Шмидта, --- нильпотентная группа. Тогда . и --- простое число, или для некоторого простого числа .
Доказательство. Пусть группа
--- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть . Ясно, что . Группа не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки и не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что --- непростая группа.