Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 7 из 15)

Пусть

. Покажем, что
для всех
. Возьмем произвольный элемент
,
. Тогда
, поэтому
,
. Теперь
. Так как
, то
. Применяя результат Гольдшмидта, получаем:
или
. Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Противоречие. Теорема доказана.

ЛеммаПусть

--- простое число, делящее порядки групп
и
. Если
--- группа Шмидта, а
---
-разложимая группа, то группа
непроста.

Доказательство. Пусть

--- силовская
-подгруппа из
, а
--- силовская
-подгруппа из
, для которых
и
есть силовская
-подгруппа в
[??].

Пусть

инвариантна в
. Тогда для любого
,
,
имеем:
. По лемме Кегеля [??] группа
непроста.

Пусть

неинварпантна в
. Тогда
циклическая и каждая собственная подгруппа из
инвариантна в
. Если
--- силовская подгруппа в
, то
и
, где
--- силовская подгруппа из
. По лемме Бернсайда группа
непроста. Пусть
не является силовской в
. Тогда
содержится как подгруппа индекса
в некоторой группе
,
. Для элемента
теперь
содержит
и
. Если
, то
непроста по лемме Бернсайда. Если
, то
и
непроста по лемме С. А. Чунихина.

Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает

ТеоремаПусть

--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.

Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда

нильпотентна.

ТеоремаПусть

--- неразрешимая группа, где
--- группа Шмидта,
--- нильпотентная группа. Тогда
.
и
--- простое число,
или
для некоторого простого числа
.

Доказательство. Пусть группа

--- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть
. Ясно, что
. Группа
не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки
и
не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что
--- непростая группа.