Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 8 из 15)

Допустим, что порядок

делится на
и пусть
--- силовская
-подгруппа из
. Тогда
--- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что
. Так как
есть
-группа, то
и по лемме из (4) группа
есть
-группа, противоречие. Следовательно, порядок
не делится на
. Но тогда
делит порядок
. Рассуждая как и в лемме, получаем, что
, а из следует, что
.

Пусть

--- минимальная инвариантная в
подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля
и
разрешима. Если
, то, применяя к
индукцию, получаем, что
или
и
--- простое число, а группа
из заключения теоремы, противоречие. Значит,
, кроме того,
и
, где
--- силовская
-подгруппа из
,
--- инвариантное
-дополнение в
. Проверка показывает, что
--- простая группа. Пусть
--- силовская
-подгруппа из
, для которой
. Если
, то централизатор элемента
из
содержит подгруппы
и
, что противоречит простоте
. Далее,
, поэтому
--- подгруппа. Но
, значит,
.

Пусть

--- силовская 2-подгруппа в
, тогда
--- силовская в
. Как и в теореме (??), можно показать, что
неабелева и
неизоморфна
. Значит,
. Пусть
,
--- дополнение к
в
. Если
, то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит,
. Так как
, то из результата Уолеса заключаем, что
изоморфна одной из следующих групп:
,
,
,
,
,
. Для них группа Шмидта
должна иметь соответственно следующие порядки:
,
,
,
,
,
, причем
, 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда
или
и в
силовская 3-подгруппа
абелева. Так как
и в
и
силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.

Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.

ТеоремаПусть конечная группа

является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.