Бипримарные группы (стр. 9 из 15)

обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в подгрупп.

СледствиеПусть группа

обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок

не равен 3 или 1, то

разрешима.

Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа

примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена

ТеоремаПусть неразрешимая группа

является произведением бипримарной подгруппы

и примарной подгруппы

. Тогда, если среди силовских подгрупп группы

есть циклическая, то

изоморфна одной из следующих групп:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

, где --- силовская 3-подгруппа;

7)

, порядок равен , а .

Так как бипримарные группы разрешимы, то группа

из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).

Если будут известны все простые группы порядка

, где , и --- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .

Используются следующие обозначения:

и --- симметрическая и знакопеременная группы степени , , и --- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение групп и с инвариантной подгруппой обозначается через . Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.

Предварительные леммы

ЛеммаЕсли группа

является произведением двух подгрупп

и

взаимно простых порядков и

--- субинвариантная в

подгруппа, то

.

Доказательство. Если

--- инвариантная в подгруппа, то --- -холловская в подгруппа, где , а --- -холловская в подгруппа(9). Поэтому . Если теперь --- инвариантная в подгруппа, то опять

и т. д.

ЛеммаЕсли группа

является произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы, то

разрешима.

Доказательство. Пусть

, --- -группа, --- нечетное простое число, --- 2-разложимая группа. В существует силовская -подгруппа такая, что , где --- некоторая силовская -подгруппа из (7). Так как разрешима, то , где --- -холловская подгруппа из . Но теперь . По лемме Бернсайда (5)группа непроста. Инвариантная подгруппа в по лемме факторизуема, т. е. , поэтому разрешима по индукции. Фактор-группа также разрешима по индукции. Поэтому разрешима и .