Вариации при исчислении (стр. 6 из 7)
(3.1)Первое слагаемое правой части преобразует с помощью теоремы о среднем значении:
, где 
.В силу непрерывности функции
будем иметь: 
,где
при 
, 
.Итак,
.Второе слагаемое (3.1) преобразуем путем разложения подинтегральной функции по формуле Тейлора
где
является бесконечно малой более высокого порядка, чем 
или 
. В свою очередь линейная часть 
может быть преобразована путем интегрирования по частям второго слагаемого подинтегральной функции к виду
.Значение функционала берется лишь на экстремалях, следовательно
. Так как граничная точка 
закреплена, то 
. Следовательно, 
.Итак, окончательно имеем:
где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно
и 
.Таким образом
Основное необходимое условие экстремума
приобретает вид 
(3.2)Если вариации
и независимы, то получаем 
и 
Однако чаще всего вариации
и бывают зависимы. Пусть, например, правая граничная точка 
может перемещаться по некоторой кривой 
Тогда
и условие (3.2) принимает вид 
или, так как
изменяется произвольно, то 
. (3.3)Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами
и 
в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности.Условие трансверсальности совместно с условием
позволяет определить одну или несколько экстремалей пучка 
, на которых может достигаться экстремум.Пример. Найти условие трансверсальности для функционалов вида
Условие трансверсальности (3.3) имеет в данном случае вид
или
Полагая, что
в граничной точке, получим 
или
.Условие трансверсальности в данном случае свелось к условию ортогональности.
2.3 Задача с подвижными границами для функционалов от нескольких функций
Если при исследовании на экстремум функционала
(3.4)одна из граничных точек, например
перемещается ( 
, 
), а другая, 
, неподвижна, то экстремум может достигаться лишь на интегральных кривых системы уравнений Эйлера 
, 
(3.5)Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки
, которую считаем неподвижной, можно исключить две произвольные постоянные. Для определения двух других произвольных постоянных необходимо иметь еще два уравнения, которые могут быть получены из условия 
, при условии, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера (3.5). При этом функционал 
превращается в функцию координат 
точки и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции. Если экстремали пучка с центром в точке 
не пересекаются, то эта функция будет однозначной.Вычисление вариации
проводится аналогично тому, как это делалось в 3.2: 
Применяя теорему о среднем значении к первому интегралу и учитывая непрерывность функции
, выделив главную линейную часть с помощью формулы Тейлора во втором интеграле и используя равенства (3.5), получим 
(3.6)Откуда, учитывая зависимость
, , 
, получим 
, 
и 
.Если граничная точка
может перемещаться по некоторой кривой , 
, то