Верхний центральный показатель некоторой линейной системы (стр. 1 из 2)
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Лукьянович А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Верхнее центральное число семейства функций
2. Верхний центральный показатель линейной системы
Заключение
Список использованной литературы
Цель данной курсовой работы - найти верхний центральный показатель системы
где k=0, 1, 2,….
Из определения верхнего центрального показателя диагональной системы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства
, где 
Таким образом, главная задача курсовой работы - найти верхнее центральное число соответствующего конечного семейства
.1. Верхнее центральное число семейства функций
Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:
, 
,зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из
следует 
равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.
Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):
,т.е. если
,где
- константа, общая для всех 
и 
, но, вообще говоря, зависящая от выбора R и 
>0.Определение 2 [1, с.103]: совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).
Определение 3 [1, с.534]:число
называется верхним средним значением функции p (t).
Определение 4 [1, с.103]: число
где
- верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также 
.Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций
и при этом 
, то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции 
, и 
.Неравенство
означает, что 
и для любого
существует такая константа 
, что
Или
(1)Аналогичное неравенство для функции
очевидно 
.Согласно определения 1
является верхней функцией для семейства .Докажем равенство
.Если существует такая верхняя функция
, что 
для всех 
, то эта функция одна образует верхний класс и 
[1, с.104].Найдем такую верхнюю функцию
, что .Рассмотрим интегралы
Разделим последнее неравенство на (t-s), получим
Устремив
и вычислив верхний предел при , получим 
или
Итак, имеем
Значит, 
.Так как
- верхняя функция, то 
.2. Верхний центральный показатель линейной системы
Пусть дана система
(2)и
- ее решение.Рассмотрим семейство функций
, 
, 
Определение 5 [1, с.116]: Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку
,Где
- норма матрицы Коши линейной системы.
Совокупность
всех верхних функций называется верхним классом системы (2), а число
верхним центральным показателем линейной системы.
Диагональная система
имеет матрицу Коши
с нормой
.Поэтому верхний центральный показатель диагональной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={
} [1, с.118].Найдем верхний центральный показатель следующей системы
(3)где k=0, 1, 2,….
Верхний центральный показатель системы (3) совпадает с верхним центральным числом конечного семейства
, где Найдем верхнее центральное число семейства
.Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семейство состоит из двух функций
и при этом , то