Смекни!
smekni.com

Ветвящиеся циклические процессы (стр. 1 из 2)

Содержание:

Введение. 3

Теория. 4

Практика. 10

Выводы.. 12

Список использованной литературы.. 13

Введение

Случайные процессы в реальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими, поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.

Но, тем не менее, использование приближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённой точностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которой можно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточно длительный промежуток времени.

В процессе данной работы я рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах; приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решение с помощью рассматриваемой теории.

Теория

Введём основные понятия, с которыми нам предстоит работать. Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Если эта система с течением времени t изменяет свои состояния S(t) (всего возможных состояний системы n штук) случайным образом, при чём так, что для каждого момента времени

вероятность состояния S(t) системы S в будущем (
) зависит только от её состояния S(
) в настоящем и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (
), то говорят, что в системе S протекает марковский случайный процесс.

Процесс является процессом с непрерывным временем, если в нём система может менять свои состояния в любой случайный момент времени.

Плотностью вероятности перехода системы S из состояния

в состояние
в момент времени t называется величина

Если же плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.

Марковский процесс, протекающий в системе S с n состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его граф состояний имеет вид:

Теорема:

Пусть в системе S протекает ветвящийся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, причём возможный непосредственный переход из состояния

разветвляется на переходы в состояния
соответственно с вероятностями
, сумма которых равна 1:

(1)

Переходы из состояний

сходятся в состояние
.

Тогда финальные вероятности[1]

соответствующих состояний системы S определяются следующими формулами:

где
.

Доказательство:

Т.к. ветвящийся циклический процесс можно представить в виде обычного циклического процесса и собственно разветвления, то, учитывая свойство циклического процесса, что плотность вероятности перехода из неразветвлённого состояния в соседнее справа равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы Sв состоянии

, имеем

(2)

Интенсивность потока уходов из состояния

равна
, где
среднее время пребывания (подряд) системы Sв состоянии
. Тогда
будет представлять собой долю величины
, определенную вероятностью qm,m+k:

(3)

Составим по графу (на рис. 1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются финальные вероятности

:

(4)

Подставляя 2 и 3 в 4, получим:

(5)

Составим матрицу коэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при ртв т-м уравнении в силу (1) равен

,
Столбцы Р 1 2 3 m-1 m m+1 m+2 m+i m+i+1 m+i+2 n-1 n
Строки

Проведем следующие элементарные преобразования над строками этой матрицы:

2-ю строку прибавим к 3-й строке;

полученную 3-ю строку прибавим к 4-й строке;

полученную 4-ю строку прибавим к 5-й строке;

и так далее;

полученную (m-1)-ю строку прибавим к m-й строке;

полученную mстроку умножим последовательно на

и прибавим соответственно к (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстроке;

сумму полученных (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстрок прибавим к (m+i+1)-й строке, учитывая равенство (1);

полученную (m+i+1)-ю строку прибавим к (m+i+2)-й строке;

полученную (m+i+2) строку прибавим к (m+i+3)-й строке;

и так далее;

полученную (п-1)-ю строку прибавим к п-йстроке.

В результате этих преобразований получим матрицу следующего вида:

Первая и последняя строки этой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например первую, можно отбросить.

Полученная после отбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:

Отсюда финальные вероятности

можно выразить через финальную вероятность
:

(6)

Подставим выражения (6) в нормировочное условие

и найдем
:

.

Откуда

или
, где
. Подставляя найденное выражение в (6) получаем доказываемые формулы.

Практика

В наше время любой банк имеет банкоматы в различных точках города для удобства своих клиентов. Для планирования будущих расходов на содержание банкомата применим теорию о ветвящихся циклических процессах.

В качестве системы S возьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:

S1 – исправен, работает;

S2 – неисправен, ведётся поиск неисправности;

S3 – неисправность обнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;

S4 – неисправность обнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороны специалистом;

S5 – ремонт законен, ведётся подготовка к включению банкомата.

Процесс, протекающий в системе – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие.

Среднее время исправной работы банкомата[2] равно

месяц; среднее время поиска неисправности банкомата равно
часа; среднее время ремонта местными средствами равно
часа; среднее время ремонта банкомата специалистом равно
дня; среднее время подготовки банкомата к работе
час.