Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів (стр. 3 из 8)

Приведемо без доказу теорему про функції від моментів, із якої випливають визначені властивості оцінок методу моментів.

Припустимо, що

є функцією двох вибіркових моментів vk і vm:

=h(v ,vm), що не містить явно п. Позначимо

=h(v ,vm), де vk =Mvk, a vm = M/vm (останні дві рівності вірні в силу властивості незміщенності вибіркових початкових моментів),

Теорема стверджує: якщо в деякій околиці точки (v

,vm), функція h безперервна зі своїми першими і другими похідними, то при великих п розподіл випадкового розміру

=h(v ,vm) близько до нормального (

n має асимптотично нормальний розподіл) із математичним чеканням, рівним В, і дисперсією, рівної

(3.5)

де С²(

) — деяка постійна, що залежить від . (Теорему можна поширити на будь-яку кількість моментів — аргументів функції h)

З теореми випливає, що при виконанні досить загальних умов оцінка методу моментів

), при великих п задовольняє наступним співвідношенням:

(3.6)

тобто оцінка методу моментів є асимптотично незміщенною,

(3.7)

Переконаємося в тому, що

має властивість забезпеченості. Дійсно, нерівність Чебішева для розміру при великих п, прийме вид:

звідси одержимо, що при п -

P(/ - /< ) 1.

Уведемо поняття ефективності й асимптотичної ефективності незміщеної оцінки скалярного параметра

.

Ефективністю е(

) незміщеної оцінки параметра називають відношення min DQn( є s)— мінімально можливого значення дисперсії оцінки в класі S всіх незміщених оцінок параметра до дисперсії D

n розглянутої оцінки. При виконанні функцією щільності f_х(х, 0) [функцією імовірності Р(Х =х,

)] досить загальних умов регулярності: дифференційованих по , незалежності області визначення від і т. д. — має місце нерівність Рао—Крамера—Фреше:

(3.8)

де i(

) — кількість інформації про параметр , що міститься в одиничному спостереженні, визначається співвідношенням

(3.9)

(i(

) — деяка постійна, що залежить від ). Тому

(3.10)

якщо е(

) = 1, то — ефективна оцінка параметра у класі S усіх

його незміщенних оцінок.

Асимптотичної ефективністю оцінки

називають розмір

(3.11)

якщо

( ) = 1 то — асимптотична ефективна оцінка (очевидно, що ефективна оцінка буде й асимптотично ефективною). Знайдемо вираження для асимптотичної ефективності оцінки

. Тому що при великих п оцінку можна вважати незміщеною, то з урахуванням формул (3.11,3.10,3.7) одержимо

Приклад 3.1.3 Переконаємося в тому, що знайдена методом моментів по випадковій вибірці з генеральної сукупності X ~ N (а, а) оцінка X параметра а є ефективної в класі не зміщених оцінок, а оцінка

² параметра ² є, після виключення зміщення, асимптотично ефективною.

Оцінка X - незміщена, і DX =

²/п. Припустивши, що ² відома, і використовуючи формулу (3.10), у якій, з обліком нормальності розподілу,

1(а) = М(dln f

(x,a)/da)

= 1/

² одержимо, що е(

) = 1. Звідси X - ефективна оцінка.

Оцінка

- зміщена; виключивши зміщення, одержимо оцінку

дисперсія котрої Ds

=2

/n-1.

Припустивши, що а відомо, і використовуючи вираження (3.10), у котрому, с обліком нормальності розподілу,

одержимо, що ефективність е(s2) =(n – 1/n)<1, а асимптотична эффективність e0(s2) = lim

e(s2) = 1. Отже, s2 – асимптотична эффективна оцінка.

Зауваження.

Незміщеною і ефективною оцінкою дисперсії є використовувана при відомому значенні параметра а оцінка s

=

(Xі -a)

/ п, тому що Мs

= ², Ds

= 2 /n и е(s

) = 1.