Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів (стр. 5 из 8)
де т - число успіхів у л випробуваннях Бернуллі (таку ж оцінку можна одержати і методом моментів). Ця оцінка заможна, незміщена і, у чому неважко переконатися, ефективна.
Відзначена вище природність визначення оцінок максимальної правдоподібності з умови (3.16) підкріплюється їхніми гарними властивостями. Якщо функція щільності fx (х, 9) (функція імовірності Р(Х = х, 9), якщо-дискретна) задовольняє досить загальним умовам регулярності, оцінка максимальної правдоподібності
має при великих я розподіл, близький до нормального з математичним чеканням, рівним 
, і дисперсією, рівної 1/[пІ( )], де І( ) визначається співвідношенням (3.9), є заможної, асимптично несумісної і асимптично ефективної; більш того, якщо існує ефективна оцінка параметра, вона буде єдиним вирішенням рівняння максимальної правдоподібності.Крім описаних методів оцінювання параметрів існує ряд інших, наприклад метод найменших квадратів, відповідно до котрого
оцінка
параметра знаходиться з умови: 
(3.19)Звернемо увагу на те, що математичного чекання нормального розподілу з відомим значенням дисперсії умова (3.19) ідентично умові методу максимальної правдоподібності (3.16).
В останні роки розвиваються так називані робастні, або стійкі, методи оцінювання, що дозволяють знаходити оцінки, хоча і є не найкращими в рамках передбачуваного закону розподілу, але має досить стійкі властивості при відхиленні реального закону від передбачуваного.
3.2 Поняття інтервальної оцінки. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу
Обчислена на основі вибірки оцінка
є лише наближенням до невідомого значення параметра навіть у тому випадку, коли ця оцінка заможна, незміщена й ефективна. Виникає питання: не можна чи зазначити таке А, для якого з заздалегідь заданої близької до одиниці імовірністю 1 - α гарантувалося б виконання нерівності: | - | < ∆, або інакше, для котрого 
(3.2.1)Якщо таке А існує, то інтервал (
-∆, +∆) називають іньервальної оцінкою параметра 9, або довірчим інтервалом; -∆, + ∆ — нижньої і верхньої довірчими границями; ∆ — помилкою оцінки , 1-α — надійністю інтервальної оцінки, або довірчою імовірністю. Вибір довірчої імовірності визначається конкретними умовами; звичайно використовуються значення 1 - α, рівні 0,90; 0,95; 0,99.Оцінка
, будучи функцією випадкової вибірки, є випадковим розміром, ∆ також випадкова: її значення залежить від імовірності 1 - α і, як правило, від вибірки. Тому довірчий інтервал випадковий і вираження (3.2.1) варто читати так: «Інтервал ( -∆, +∆ накриє параметр з імовірністю 1 — α», а не так: «Параметр потрапить у інтервал ( -∆, +∆ з імовірністю 1 - α».У формулі (3.2.1) границі довірчого інтервалу симетричні щодо крапкової оцінки. Однак не завжди вдасться побудувати інтервал, що володіє такою властивістю. Для одержання довірчого інтервала найменшої довжини при заданому об'ємі виборки п і заданої довірчої імовірності 1 - а в якості оцінки
параметра варто брати ефективну або асимптотично ефективну оцінку.Існує два підходи до побудови довірчих інтервалів.
Перший підхід, якщо його вдасться реалізувати, дозволяє будувати довірчі інтервали при кожному кінцевому об'ємі вибірки п. Он заснований на доборі такої функції ψ (
, ), називаної надалі статистикою, щоб:її закон розподілу був відомий і не залежав від
;функція ψ(
, ) була безупинної і строго монотонної по .Задавшись довірчою імовірністю 1- α, знаходять двосторонні критичні границі
, що відповідають імовірності а. Тоді з імовірністю 1 — α виконується нерівність І 
(3.2.2)Вирішивши цю нерівність щодо 0, знаходять границі довірчого інтервалу для
. Якщо щільність розподілу статистики в ψ( , ) симетрична щодо осі 0у, то довірчий інтервал симетричний щодо .Другий підхід, що одержав назву асимптотичного підходу, більш універсальний; однак він використовує асимптотичні властивості крапкових оцінок і тому придатний лише при досить великих об'ємах вибірки.
Розглянемо перший підхід на прикладах довірчого оцінювання параметрів нормального розподілу.
Інтервальна оцінка математичного чекання при відомій дисперсії. Отже, Х~ N (а, σ), причому значення параметра а не відомо, а значення дисперсії а2 відомо.
При Х~ N (а, σ) ефективною оцінкою параметра а є X, при цьому X ~ N(a,σ а/√п). Статистика
має розподіл N(0;1) незалежно від значення параметра а і як функція параметра а безупинна і строго монотонна. Отже, з обліком нерівності (3.2.2) і симетричності двосторонніх критичних границь розподілу y(0; 1) будемо мати: 
Вирішуючи нерівність
щодо а, одержимо, що з імовірністю 1 - α виконується нерівність 
(3.2.3)при цьому
(3.2.4)що відповідає результату (6.1.23); число иазнаходять з умови Ф(uа) = (1-α)/2.
Зауваження. Якщо п велике, оцінку (3.2.3) можна використовувати і при відсутності нормального розподілу розміру X, тому що в силу наслідку з центральної граничної теореми при випадковій вибірці великого об'єму п
Зокрема, якщо Х = ц, де ц - випадкове число успіхів у великому числі п випробувань Бернуллі, то
і з імовірністю ≈ 1 - α для імовірності р успіху в одиничному випробуванні виконується нерівність
(3.2.5)Замінюючи значення p і q=1-pn лівій і правій частинах нерівності (3.2.4) їхніми оцінками 
і
, що припустимо при великому п, одержимо наближений довірчий інтервал для імовірності р: 
(3.2.6)Приклад 3.2.1 Фірма комунального господарства бажає на основі вибірки оцінити середню квартплату за квартири визначеного типу з надійністю не менше 99% і погрішністю, меншої 10 д.е. Припускаючи, що квартплата має нормальний розподіл із середнім квадратичнім відхиленням, що не перевищує 35 д.е., знайдіть мінімальний об’єм вибірки.