Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів (стр. 6 из 8)
Вирішення. За умовою потрібно знайти таке п, при якому
, де а і Х- генеральна і вибіркова середні.Прирівнявши 1 - α = 0,99, по табл. П. 4.1 знайдемо число иа, при якому Ф(
) = (1 - α)/2 = 0,495; и0.01=2,6. При ∆ =10 і α = 35 із формули (3.2.4) одержимо п = 
= 82,81. Але тому що з ростом 1 - α і зменшенням ∆ зростає п, то п > 82,81 і птin= 83 (звичайно, при зменшенні верхньої границі для про буде зменшуватися і птin). ТІнтервальна оцінка математичного чекання при невідомій дисперсії. Отже, Х~ N (а, о), причому числові значення ні а, ні α 2 не відомі. По випадковій вибірці знайдемо ефективну оцінку параметра а:
і оцінку 
параметра σ2.Побудова інтервальної оцінки для а засновано на статистику
, що при випадковій вибірці з генеральної сукупності Х~ N (а; σ) має розподіл Стьюдента з (п - 1) ступенем волі незалежно від значення параметра а і як функція параметра а безупинна і строго монотонна.З обліком нерівності (3.2.2) і симетричності двосторонніх критичних границь розподілу Стьюдента будемо мати:
Вирішуючи нерівність 
-ta відносно а, одержимо, що з імовірністю 1 - α виконується нерівність
(3.2.7)і помилка оцінки X при невідомому значенні параметра о2
(3.2.8)де число
знаходять по табл. П. 4.2 при k=n-1 пр = α.Зауваження. При k=п-1>30 випадковий розмір t(k) має розподіл, близьке до N (0; 1), тому з імовірністю ≈ 1 - α
(3.2.9)Приклад 3.2.2 Для галузі, що включає 1200 фірм, складені випадкова вибірка з 19 фірм. По вибірці опинилося, що у фірмі в середньому працюють 77,5 чоловік при середньому квадратичному відхиленні s = 25 чоловік. Користуючись 95%-нім довірчим інтервалом, оціните середнє число працюючих у фірмі по всій галузі і загальне число працюючих у галузі. Передбачається, що кількість працівників фірми має нормальний розподіл.
Вирішення. При k = n -1 = 18 і р = α = 1 - 0,95 = 0,05 знайдемо в табл. П. 4.2 t005 = 2,10. Довірчий інтервал (3.2.7) прийме вид: (65,5; 89,5). З імовірністю 95% можна стверджувати, що цей інтервал накриє середнє число працюючих у фірмі по всій галузі. Тоді довірчий інтервал для числа працюючих у галузі в цілому такий: (1200-65,5; 1200-89,5). Т
Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичного відхилення) при відомому математичному чеканні. Ефективною оцінкою дисперсії в цьому випадку є
.Використовуються два варіанти інтервальної оцінки для σ2(σ).
1. Основу першого варіанта складає статистика
(3.2.10)який має розподіл%2 із п ступенями волі незалежно від значення параметра а2 і як функція параметра а2 > О безупинна і строго монотонна.
Отже, з обліком нерівності (3.2.2) будемо мати:
де
і 
— двосторонні критичні границі Х2-распределения з п ступенями волі.Вирішуючи нерівність
щодо α2, одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність 
(3.2.11)і з такою же імовірністю виконується нерівність
(3.2.12)Числа
і знаходять по табл. П. 4.3 при k = п і відповідно при р=α/2 і р=1-α/2. Інтервальна оцінка (3.2.12) несиметрична щодо 
.2. Другий варіант припускає знаходження інтервальної оцінки для а при заданій надійності 1 - α у виді
(3.2.13)При 5а < 1 границі цієї оцінки симетричні щодо
і помилка оцінки , щогарантується з імовірністю 1 - α, 
(3.2.14)Як знайти 8а? Вирішуючи нерівність (3.2.13) щодо n 
/σ², одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність
(3.2.15)або, з огляду на формулу (3.2.10) і замінивши п на k, а α нар,
(3.2.16)Значення
, задовольняють рівнянню (3.2.16) при різних р та k,приведені до таблиці П. 4.6.Тоді,
(3.2.17)де
— число, знайдене в табл. П. 4.6 при k = п и р = а.Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичного відхилення) при невідомому математичному чеканні. Найкращою крапковою оцінкою дисперсії в цьому випадку є
, і побудова інтервальної оцінки для а2 засновано на статистику 
, який при випадковій вибірці з генеральної сукупності Х~ N(a; α) має розподіл Х2 із (п — 1) ступенем волі.Проробивши викладення для розміру Х2(п — 1), подібні викладенням при відомому математичному чеканні, одержимо два варіанти інтервальної оцінки для а2 (σ):
(3.2.18) 
(3.2.19)де числа
і знаходять по табл. П. 4.3 при k = п - 1 і відповідно при р = α/2 і р=- 1 - α/2. 
(3.2.20) (3.2.21)при цьому помилка оцінки s, що гарантується з імовірністю 1 - α,
(3.2.22)число 5га знаходять по табл. П. 4.6 при k = п — 1 і р = α.
Зауваження. При k = п — 1 > 30 випадковий розмір Х2(к) має розподіл, близьке до
, тому з імовірністю ≈ 1 - α 
(3.2.23)Приклад 3.2.3 Варіація щодобового прибутку випадково обраних 10 кіосків деякої фірми, обмірюване розміром
де 
- прибуток і-го кіоска, опинилася рівної 100 д. е. Знайдіть таке ∆, при якому з надійністю 90% можна гарантувати, що варіація прибутку по всіх кіосках фірми не вийде за межі 100 + ∆. Передбачається, що прибуток - нормально розподілений розмір.Тому що середній прибуток кіоску по усій фірмі не відомий і інтервал для про повинний бути симетричним щодо s, для розрахунку помилки оцінки s при 1 - а = 0,9 скористаємося формулою (3.2.22).
При k = 9та р= α = 0,1 по табл. П. 4.6 знайдемо
= 0,476; тоді ∆ = 47,6. З надійністю 90% можна стверджувати, що генеральна варіація прибутку кіоску не вийде за межі 100 + 47,6.Приклад 3.2.4 Користуючись 90%-нім довірчим інтервалом, оціните в умовах завдання 7.2 варіацію працюючих у фірмі по всій галузі.
Вирішення. За умовою п = 19, s = 25, 1 - α = 0,9. Знайдемо два варіантидовірчого інтервалу:
Відповідно формулі (3.2.19)
