Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів (стр. 7 из 8)

а тому що при k = п-1 = 18 верхня довірча границя

, а нижня (див. табл. П. 4.3), то 19,740 < α < 34,613 - ця оцінка не симетрична щодо s.

2. Відповідно до рівняння (3.2.21),

а так як при k = п -1 = 18 50,

= 0,297 (див. табл. П. 4.6), то 17,575<σ<32,425 - ця оцінка симетрична щодо s. Вона, як і випливало очікувати, відрізняється від попередньої інтервальної оцінки, однак

3.2.1 Асимптотичний підхід до інтервального оцінювання

З прикладами інтервальних оцінок, що мають місце тільки при великих об'ємах вибірок, ми вже зштовхувалися. Так, якщо розподіл випадкового розміру X відмінно від нормального, але п велике, то з імовірністю ≈ 1 - а інтервальна оцінка для MX = а має вид нерівності (3.2.3); з імовірністю ≈ 1-а інтервальна оцінка для р при великих п має вид нерівності (3.2.6) і т. д. [див. нерівності (3.2.9), (3.2.23)].

Розглянемо асимптотичний підхід у загальному випадку.

Раніше було встановлено, що при виконанні досить широких умов оцінка

параметра , отримана або методом моментів або методом максимальної правдоподібності, має в самому загальному випадку асимптотичний нормальний розподіл і асимптотично несумісної, тобто при великих п оцінка . Однак на відміну від ситуації, розглянутої на раніше, де дисперсія D

оцінки передбачалася відомої, у загальному випадку дисперсія D

оцінки

залежить від оцінюваного невідомого параметра θ:

(3.2.24)

Тому напряму перший підхід до довірчого інтервалу неприйнятий.

Порушимо питання так: не можна чи перетворити оцінку

у g – g( ) це невідомий параметр у g= g (θ) так, щоб дисперсія D

не залежала від θ. Викладемо схему добору такого перетворення, а потім пояснимо, як, використовуючи його, знайти інтервальну оцінку для θ.

Нехай θ — оцінка методу моментів: θ, а отже, і g = g(θ) є функціями вибіркових моментів. Тоді, відповідно до теореми про властивості функцій вибіркових моментів (див. 3.1), розподіл оцінки

при великих п близько до нормального,

і, з обліком виражень (3.5) і (3.2.25),

(аналогічні вираження утворюються і для оцінок максимальної правдоподібності в регулярному випадку). Але тому що дисперсія D

не повинна залежати від θ, то вираження c(θ)g'(θ) повинно бути постійним, наприклад, c(θ)g'(θ) = 1. Тоді g'(θ)= 1/ c(θ) і

(3.2.25)

при цьому довільна постійна в невизначеному інтегралі вибирається з розумінь простоти остаточних виражень.

Отже, при великих п розподіл оцінки

близько до нормального, при цьому

, a і, отже,

Тому при великих п для g(9) з імовірністю * I — а має місце нерівність, подібна нерівності (3.2.3):

(3.2.26)

Застосувавши до всіх частинам нерівності (3.2.26) перетворений не

, що є зворотною функцією до функції g, одержимо інтервальну оцінку для θ.

Приклад 3.2.5 Побудуємо довірчий інтервал для параметра розподілення Пуассона: Р(Х = х) =

л.

У прикладі 3.2.2 була знайдена оцінка методу моментів

параметра ; будучи оцінкою методу моментів, має асимптотично нормальний розподіл (ця властивість оцінки випливає також і з центральної граничної теореми), при цьому - оцінка, тому що , а дисперсія оцінки , залежить від параметра λ:

Зіставивши вираження для

с вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до рівності (3.2.25),

З урахуванням виду функції

нерівність (3.2.26)

(3.2.27)

Для функції

при х ≥ 0 і у ≥ 0 зворотна функція . Тому, якщо в нерівності (3.2.27)

то, застосувавши до всіх його частинам перетворення

одержимо нерівність

(3.2.28)

яке виконується при великих п з імовірністю ≈1 - α.

Приклад 3.2.6 Побудуємо довірчий інтервал для р - імовірності успіху в одиничному випробуванні.

У прикладі 3.2.4 методом максимальної правдоподібності для р була знайдена оцінка

, де - випадкове число успіхів у п випробуваннях Бернуллі; р має асимптотичний нормальний розподіл, при цьому М

= р, a D

= р(1 – р)/п - дисперсія залежить від параметра р.

Зіставивши вираження для D

із вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до формули (3.2.25),

З обліком виду функції g(p) нерівність (3.2.26) прийме вид:

(3.2.29)

Для функції

при 0 < < 1 зворотна функція , де 0 < у < π. Тому, якщо в нерівності (3.2.29)

та , то застосувавши до всіх його частинам перетворення одержимо нерівність;

який виконується при великих п зімовірністю ≈1 - α.

4. Розподіл Пуассона

Нехай виробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який імовірність появи події А дорівнює р. Для визначення імовірності k появ події в цих іспитах використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велико, то користаються асимптотичною формулою Лапласа. Однак, ця формула непридатна, якщо імовірність події мала (р≤0,1). У цих випадках (п велико, р мало) прибігають до асимптотичною формулою Пуассона.