Випадкові події (стр. 3 из 5)

Множина підмножин універсуму U називається полем подій і позначається F. Елементами цієї множини є можливі події, які можуть настати у результаті стохастичного експерименту. Якщо множина U має n елементів, то поле подій F складається з

подій. Нескінченна множина F називається борелевським полем (або s-алгеброю). Відносно операцій об’єднання, перерізу і доповнення множина подій F утворює булеву алгебру.

Ототожнення подій з множинами дозволяють розв’язування задач теорії ймовірностей звести до розв’язування теоретико-множинних задач.

Теоретико-множинні операції відносно подій мають такий зміст:

1)

- настає або подія А, або подія В, у тому числі і одночасно;

2)

- одночасно настають обидві події А і В;

3)

- настає або подія А, або подія В, але не одночасно;

4)

- подія А настає, а подія В не настає;

5)

- якщо подія А настає, то обов’язково настає і подія В.

Ймовірність подій визначається за Колмогоровим сукупністю аксіом.

1 аксіома. Кожній події

ставиться у відповідність невід’ємне дійсне число - ймовірність події.

2 аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:

.

3 аксіома. Якщо А і В несумісні (відповідні множини А і В не перетинаються), то

.

Ця система аксіом несуперечлива і є основою елементарної теорії ймовірностей, яка вивчає скінченні множини подій. При розгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однією аксіомою:

4 аксіома - аксіома неперервності. Для послідовності подій

такої, що та (порожній множині), має місце співвідношення

Непорожня множина U елементарних подій, булева алгебра подій F і множина ймовірністей Р, яка визначена на F, утворюють у сукупності ймовірнісний простір, який позначається як трійка

.

При аксіоматичному означенні не використовується поняття рівноможливості наслідків, що характерно для класичного означення ймовірностей. Аксіоматична теорія ймовірностей не вирішує питання про конкретні чисельні значення ймовірностей елементарних подій. Розв’язуванням цієї задачі з ймовірнісних позицій займається математична статистика.

Приклад 1. При киданні грального кубика множина елементарних подій

, - випало і очок. Множина F подій складається з елементів, серед яких порожня множина , основна множина U, одноелементні множини , а також множини, які утворені сполученням із 6елементів по 2, 3, 4, 5 елементів. У допущенні симетрії грального кубика необхідно приписати однакові ймовірності елементарним подіям:

.

Якщо кубик не симетричний, то ймовірностям необхідно приписати різні значення. Нехай методами математичної статистики встановили, що

, , , , , .

Тоді ймовірність події

- випаде не більше двох очок - для симетричного кубика дорівнює , а для несиметричного - . Ймовірність випадання непарного числа очок (подія ) для симетричного кубика дорівнює , для несиметричного .

7.Основні співвідношення та теореми теорії ймовірностей

З аксіом Колмогорова можна одержати всі співвідношення елементарної теорії ймовірностей.

Рівність нормування ймовірностей:

(1)

Доведення. Елементарним подіям

співставляються одноелементні множини , які не перетинаються між собою. Тому універсум U можна представити у вигляді

.

Згідно 3-ї аксіоми Колмогорова

.

Згідно 2-ї аксіоми Колмогорова

.

Тому

,

що й треба було довести.

Імовірність протилежної події:

. (2)

Доведення. З алгебри множин відоме теоретико-множинне співвідношення

.

За 2-ю аксіомою Колмогорова для відповідних подій можна записати

.

За 3-ю аксіомою Колмогорова

,

а значить

.

Отже,

.

Імовірність неможливої події:

.(3)

Доведення. Згідно формули (2) при A=U

.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій:

.(4)

Доведення. З використанням 2-ї аксіоми Колмогорова можна записати послідовність рівностей

.

Події називаються сумісними, якщо відповідні множини перетинаються:

. Якщо події сумісні, то настання однієї з них не виключає можливості настання іншої.

Приклад 1. При киданні двох гральних кубиків подія А – випав дубль – і подія В – випала непарна кількість очок – є несумісними подіями.

Приклад 2. При киданні двох гральних кубиків подія А – випало у сумі не більше 6 очок – і подія В – випало у сумі не менше 4 очок – є сумісними.

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій:

,(5)

та дві важливі рівності

,(6)

.(7)

Доведення. З дискретної математики відомі такі теоретико-множинні тотожності:

,(1*)

,(2*)

,(3*)

,(4*)