або, якщо
.Приклад 1. При киданні грального кубика події А – випаде не більше двох очок, В – випаде 3 або 4 очки та С – випаде не менше 5 очок – утворюють повну систему подій.
Якщо подія В може настати при настанні будь-якої події з повної системи подій
, то її ймовірність можна обчислити за формулою повної ймовірності . (1.9.1)Доведення. Для відповідної до події B множини можна записати відому теоретико-множинну рівність
.Події
– несумісні, тому для відповідних подій .Звідси
,що й треба було довести.
Розв’язування. Нехай
події – навмання вибрана деталь належить до першої, другої, третьої партій, відповідно. Ці події утворюють повну систему подій. Тому .З умови задачі
. Звідси . Нехай подія В – вибрана зі складу деталь є бракованою. Умовні ймовірності події В за умовою задачі , , .За формулою повної ймовірності (1)
.Нехай
– повна система подій. Нехай В – подія, яка може настати при настанні будь-якої з цих подій, вже настала. Тоді ймовірності подій із повної системи подій можна обчислити за формулами Бейєса (1)Доведення. Операція перерізу множин комутативна
і тому для відповідних подій справджується рівність .Це співвідношення також справедливе для події
із повної групи подій :Звідси
.Останню рівність з врахованням формули повної імовірності (1.9.1) можна переписати у вигляді
,що і треба було довести.
Умовні ймовірності
задовільняють рівності нормування ймовірностей .Часто події Аi називаються гіпотезами, їх ймовірності
апріорними ймовірностями, умовні імовірності апостеріорними ймовірностями, а самі формули Бейєса – теоремою гіпотез.Приклад 1. Деталі, які виготовлені в цеху заводу, потрапляють для перевірки до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапить до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що деталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0.94, другим – 0.98. Вибрана деталь при перевірці виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер.
Розв’язування. Нехай В – вибрана деталь виявилася стандартною. Можна зробити два припущення:
1) деталь перевірив перший контролер (гіпотеза
);2) деталь перевірив другий контролер (гіпотеза
).Ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер, обчислюється за формулою Бейєса
.За умовою задачі:
(ймовірність того, що деталь потрапляє до першого контролера); (ймовірність того, що деталь потрапить до другого контролера); (ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною першим контролером); (ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною другим контролером).Тому
.До іспиту ймовірність гіпотези А1 дорівнювала 0.6, а після того, як став відомий результат іспиту, ймовірність цієї гіпотези змінилася і стала 0.59.