Випадкові події (стр. 1 из 5)

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

(реферат)

1.Випадкові події. Предмет теорії ймовірностей

Подія – одне з основних понять теорії ймовірностей. Воно є первісним і немає означення. Події настають (відбуваються, з’являються) при виконанні певної сукупності умов S. Кожна реалізація цих умов називається експериментом (випробовуванням, іспитом).

Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені, яку поділено на 4 області. Постріл – це експеримент, а попадання в певну область – подія.

Приклад 2. З урни з різнокольоровими кулями навмання вибирають одну кулю. Виймання кулі – експеримент, а виймання кулі певного кольору – подія.

За ознакою настання чи ненастання у окремому експерименті події розділяються на достовірні (вірогідні), неможливі та випадкові. Достовірна подія обов’язково настає, неможлива подія обов’язково не настає, а випадкова подія настає, або не настає, у результаті експерименту. Експеримент називається стохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і його результати кожного разу передбачити неможливо. Отже, випадкова подія є результатом стохастичного експеримента.

Приклад 3. Подія А – вода у посудині знаходиться у рідкому стані при нормальному атмосферному тиску та температурі 20ºС – достовірна подія. Встановлення нормального атмосферного тиску та температури 20ºС може відбутись само по собі. Але у теорії ймовірностей це все одно експеримент.

Приклад 4. Подія A – вода в посудині знаходиться в твердому стані при нормальному тиску й температурі повітря 20ºС – неможлива подія.

Приклад 5. Подія А – випав герб при киданні монети – випадкова подія: герб може випасти, а може і не випасти (може випасти цифра).

Теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу передбачити настання/ненастання випадкової події в одному окремому експерименті – це неможливо у принципі. Такий стан справ пояснюється тим, що випадкові події є наслідком впливу великої кількості факторів, врахувати які неможливо. До того, закони дій цих факторів часто невідомі. Інша справа, коли йдеться про випадкові події, які неодноразово спостерігаються при багатократних експериментах в однакових умовах. У цьому випадку для випадкових подій виявляються деякі закономірності, які називаються стохастичними (ймовірними). Вивчення стохастичних закономірностей випадкових подій і є предметом теорії ймовірностей.

Методи теорії ймовірностей широко використовуються у різних областях науки, техніки, виробництва: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, теорії похибок вимірювань, теорії автоматичного керування, теорії зв’язку та інших теоретичних та прикладних науках. Теорія ймовірностей використовується також для обґрунтування математичної та прикладної статистик, які використовуються для планування та організації виробництва, аналізу технологічних процесів, контролю якості продукції і для інших цілей.

2.Імовірності

Випадковий характер події А експериментально виявляється при послідовності експериментів.

Послідовність експериментів – це багатократне виконання експерименту S в однакових умовах.

Для вивчення стохастичних закономірностей випадкових подійнеобхідно, щоб останні мали деяку кількісну ознаку. Такою ознакою для випадкової події є її ймовірність. Це число, яке показує як часто настає випадкова подія при послідовності експериментів. Імовірність події тим більша, чим частіше вона настає при послідовності експериментів. Імовірність прийнято позначати

або . Запис слід читати як "ймовірність події А за умови виконання експерименту S". Вважають (саме так, вважають), що ймовірність достовірної події дорівнює 1, а неможливої – 0. Тому для ймовірності будь-якої випадкової події вірною є подвійна нерівність

.(1)

Існує декілька підходів до означення ймовірностей – класичне означення, геометричні ймовірності, статистичне означення. Ці означення, як правило, зводяться до вказівок на практичні методи обчислення ймовірностей. Тому, власне, не є строгими означеннями ймовірностей.

3. Класичне означення ймовірностей

Вважається, що експеримент S обов’язково може мати лише один наслідок із скінченної кількості рівноможливих і несумісних наслідків

. Ці наслідки називаються елементарними випадковими подіями. Несумісність наслідків означає, що настання одного з них унеможливлює настання будь-яких інших. Рівноможливість наслідків означає, що жодний з них немає переваги над іншими. Також вважається відомим сприяння/несприяння наслідку складній події А.

За класичним означенням ймовірність події А

,(.1)

n – кількість можливих і несумісних наслідків події А, m – кількість наслідків, що сприяють події.

При m=1 із (.1) слідує, що ймовірність наслідків (елементарних подій) дорівнює

.(2)

Приклад 1. При киданні монети можливі два наслідки (

): E₁ – випадання герба i E₂ – випадання цифри . Ці наслідки можна вважати рівноможливими (жоден з них не має переваги над іншим) і несумісними (вони не можуть з’явитися одночасно). Тому за формулою (2) . Це означає, що при багатократних експериментах приблизно у половині з випадків випадає герб, а у половині – цифра. Це тим ближче до дійсності, чим більше число експериментів.

Приклад 2. При киданні двох монет можливих наслідків є чотири (

): – герб на обох монетах, – герб на першій монеті і цифра на другій, – цифра на першій монеті і герб на другій, – цифра на обох монетах. Ймовірності наслідків згідно із (2) дорівнюють 0.25. Складній події В – випаде герб і цифра – сприяють 2 наслідки: , , і тому за формулою (1) . Події С – випаде хоча б один герб – сприяють 3 наслідки: , , , і тому .

У більш складних випадках для підрахунку числа наслідків, які сприяють випадковій події, використовуються методи комбінаторного аналізу.

Комбінаторний аналіз вивчає методи підрахунку числа сполучень, перестановок, розміщень, тощо. При цьому для виведення співвідношень використовуються правила суми та добутку:

Правило суми. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибрати або a, або b можна m+n способами.

Правило добутку. Якщо елемент a можна вибрати m способами і після такого кожного вибору, елемент b можна вибрати n способами, то елементи а і b можна вибрати m n способами.

Нехай A неупорядкована множина з n елементів. Будь-яка m-елементна підмножина цієї множини називається сполученням із n елементів по m елементів. Порядок слідування елементів у сполученнях не суттєвий. Це означає, що різні сполучення обов’язково відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень

.(3)

Числа

називаються біноміальними коефіцієнтами.

Приклад 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, в якому знаходиться 10 деталей?

Розв’язування. У задачі йдеться про сполучення із 10 елементів по 2 елементи. За формулою (3)

.

Перестановками називаються упорядковані множини, які відрізняються між собою лише порядком своїх елементів. Число перестановок

.(4)

Приклад 4. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у число лише один раз?

Розв’язування.

Розміщеннями називають m-елементні підмножини множини з n різних елементів, які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень

.(5)

Приклад 5. Скільки можна утворити сигналів із 6 прапорців різного кольору, якщо скористатись для одного сигналу 2 прапорцями?

Розв’язування. Кожний сигнал відрізняється від інших як набором кольорів, так і їх розташуванням. Тому необхідно підрахувати число розміщень із 6 елементів по 2 елементи. За формулою (5)

.