Аx2 + Вy2 + . . . + Cz2 = u2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)
Аxk+ Вyk+ . . . + Czk= uk
с k неизвестными имела решение A, B, . . . , C и притом единственное, при любых значениях правых частей u1, u2, u3, . . . , uk, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей однородная система
Аx1 + Вy1 + . . . + Cz1 = 0Аx2 + Вy2 + . . . + Cz2 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)
Аxk+ Вyk+ . . . + Czk= 0
имела бы одно только нулевое решение: A = B = . . . = C = 0 – выполняется в частных случаях
x1 = 0,y1 = 0, . . . , z1 = 0x2 = 0,y2 = 0, . . . , z2 = 0 (18)
xk = 0, yk = 0, . . . , zk = 1
x1 = 1,y1 = 1, . . . , z1 = 1x2 = 0,y2 = 1, . . . , z2 = 1 (19)
xk = 0, yk = 0, . . . , zk = 1
1) x1 = 0,y1 = 0, . . . , z1 = 0
x2 = 0,y2 = 0, . . . , z2 = 0
xk= 0, yk= 0, . . . , zk= 1
Тогда однородная для (16) система (17) примет вид
А•1 = 0
В•1= 0. . . . . .
C•1= 0
А = 0 В= 0. . . . . .
C= 0
Т. е. A = B = . . . = C = 0.
Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение
A = B = . . . = C = 0.2) x1 = 1,y1 = 1, . . . , z1 = 1
x2 = 0,y2 = 1, . . . , z2 = 1
xk = 0, yk = 0, . . . , zk = 1
Тогда однородная для (16) система (17) примет вид
А•1+ В•1+ . . . + C•1 = 0В•1+ . . . + C•1 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C•1= 0
Решая эту систему с конца, получим A = B = . . . = C = 0. Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение A = B = . . . = C = 0.
Заключение
В данной работе поставленные цели достигнуты.
В работе изучены основные теоретические сведения о возвратных последовательностях, приведены примеры таких последовательностей, также доказаны некоторые теоремы. Нужно заметить, что часть теоретического материала рассматривается именно через примеры, с помощью которых выводятся основные формулы теории возвратных последовательностей. Также затронута тема «возвратные задачи», в работе подробно разобраны некоторые из них. Третья глава посвящена изучению и применению возвратных последовательностей в школьном курсе математики, что можно включить в учебную программу факультатива по математике в средней школе.
В практической части применены полученные знания теории возвратных последовательностей. А именно: доказано по определению, что последовательности являются возвратными и проверено условие выполнения теоремы в частных случаях.
Тема «Возвратные последовательности» не является изолированной, Она близка к школьному курсу математики (арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел и т.д.), используется в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей; представляет собой частную главу о последовательностях.
Таким образом, в данной курсовой работе изучена очень важная и актуальная на сегодняшний день тема.
Список литературы
1. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики. / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. Пер. с англ. – М.:Мир, 1998. – С. 17−37.
2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1950.
3. Мантуров О. В. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2 / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; Под. ред. Л. В. Сабинина. – М.: Просвещение, 1982. – С. 207–208.