Выбор и построение интерполирующей функции (стр. 2 из 3)

(5.19)

Предположим, что точка интерполяции расположена вблизи конечной точки

таблицы. В этом случае узлы интерполяции следует брать таким образом Формула Ньютона для интерполяциии назад имеет вид:

(5.20)

Разделенные разности можно выразить через конечные разности, если воспользоваться возможностью переставлять в них аргументы, и соотношением (5.18), откуда следует:

;

Введем переменную

, учитывая что получим для вторую интерполяционную формулу Ньютона для интерполяции в конце таблицы :

.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для екстраполяции функции, то есть для вычисления значений функции

, значения аргументов которой лежат вне таблицы. Если и значение близко к

, то выгодно использовать первый интерполяционный многочлен Ньютона, тогда и Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполяции вперед и екстраполяции назад, а вторая - наоборот, для интерполяции назад и екстраполяции вперед.

Отметим, что операция екстраполирования, вообще говоря, менее точная чем операция интерполяции.

Интерполяционные формулы Ньютона выгодны, поскольку при добавлении

новых узлов интерполяции необходимые дополнительные вычисления только для новых членов, без изменения старых.

Схема Эйткина

Пусть дана f задана таблично в точках х_i она принимает значения у_i= f(х_i) (i=0,1,…,n). Требуется вычислить значение функции f в некоторой точке х

, не совпадающей с точками х_i. В таком случае нет необходимости строить общее выражение многочленна Лагранжа явно, а требуется только вичислить его значение в точке х. Эти вычисления удобно выполнить по интерполяционной схеме Эйткина. Характерной чертой этой схемы является единообразие вичислений.

Если функция f задана в двух точках х₀ и х₁ значениями у₀ и у₁, то для вычисления ее значения в точке х

можно воспользоваться формулой:

(*) линейного интерполирования.

Обозначив значение функции в точке x через

, формулу (*) можно представить в таком виде:

,

Где в правой части стоит определитель 2-го порядка. Эта формула эквивалентна формуле (*). Кроме того,

, .

Пусть функция f задана в трех точках х₀, х₁ и х₂ своими значениями у₀, у₁ и у₂ и требуется вычислить ее значение в точке х

. В этом случае по схеме Эйткина в точке х вычисляют сначала значения двух линейных многочленов

и ,

а затем значение квадратичного многочлена вида:

.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что

,

; , , .

Покажем еще, что

совпадает с формулой Лагранжа для трех узлов интерполирования. Поскольку

,

то, раскрывая определитель, получаем:

Эта схема обобщается на более высокие степени. Если функция f задана в четырех точках, то кубическое интерполирование выполняется по формуле

,

Где

и - значения квадратичных многочленов в точке х . Непосредственной проверкой убеждаемся, что и . Кроме того совпадает с кубическим интерполяционным многочленом Лагранжа:

.

Вообще, если в (n+1)-й точке х_i (i=0,1,…,n) функция f принимает значения y_i (i=0,1,…,n), то значение интерполяционного многочлена Лагранжа степени n в точке х

можно вычислить по формуле

,

где

и - значения интерполяционных многочленов, вычисленных в точке х на предшествующем шаге. Ясно, что для вычисления значения многочлена степени n в точке х необходимо по схеме Эйткина вычислить в этой точке значения n линейных, n-1 квадратичных, n-2 кубических многочленов и т. д., два многочлена степени n-1 и, наконец, один многочлен степени n. Все эти многочлены выражаются через определитель 2-го порядка, что делает вычисления единообразными.

Отметим то, что схема Эйткина применима и в случае неравноотстоящих узлов интерполирования.

Сплайн – интерполяция

В инженерной практике график функции y(x_i) (i=0,N) строят в основном с помощью лекал. Если точки размещены редко, то пользуются гибкой линейкой (spline), ставят ее на ребро и изгибают так, чтобы она одновременно проходила через все точки.

Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет вид

, то можно допустить, что ее форма между узлами есть алгебраический полином 3-й степени.

Вероятно, интерполирующую функцию между каждыми двумя узлами можно взять, например, в таком виде:

(*)

.

Неизвестные коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i найдем с условий в узлах интерполяции.

Поскольку полиномы совпадают с табличными значениями функции y(x_i) (i=1,N) в узлах интерполяции, то:

(А)

(В)

Поскольку этих уравнений в два раза меньше, чем неизвестных коэффициентов, то надо еще какие-нибудь дополнительные условия (например, условия непрерывности 1-й и 2-й производных во всех точках, в том числе и в узлах интерполирования, то есть условия гладкости угла поворота пересечения и кривизны линейки).

С условий непрерывности производных у внутренних узлах

имеем:

(С)