Выпуклые фигуры (стр. 1 из 3)

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра геометрии

Курсовая работа на тему:

«Выпуклые фигуры»

Выполнила студентка

2 курса ФМФ специальности

«Физика» гр. «А»

Валаева С.В.

Ставрополь 2007г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................................................................................3

Выпуклые фигуры………………………………………………………………...5

Кривые постоянной ширины и их применение....................................................7

Свойства кривых постоянной ширины...............................................................14

Литература.............................................................................................................17

ВВЕДЕНИЕ.

Понятие выпуклости возникло в античные времена. Оно встречается в сочинениях Архимеда, «О шаре и цилиндре», есть такие слова: «Я называю выпуклыми в одну и ту же сторону такие поверхности, для которых отрезки, соединяющие две точки, будут... находиться по одну сторону от поверхности».

В новое время изучение выпуклых фигур началось в XIX веке. Как отдельная ветвь геометрии, выпуклая геометрия родилась в трудах О.Коши, Я.Штейнера и Г.Минковского.

У нас в стране задачи о выпуклых фигурах были популярны в довоенных школьных математических кружках. Выдающийся математик Лев Генрихович Шнирельман, один из организаторов математического кружка при Московском университете, избрал одной из тем для занятий выпуклую геометрию. Эта тема была подхвачена Давидом Шклярским, аспирантом мехмата, математиком, подававшим большие надежды, но не вернувшимся с войны. Шклярский придал кружку совершенно иную форму, сохранившуюся и до нашего времени. Основное внимание стало уделяться решению не-стандартных задач. Выпуклость оказалась благодатнейшей почвой для развития геометрических способностей: красота и значимость ее результатов сочетались с совершенной элементарностью постановок задач и средств их исследования.

На базе многолетних занятий по выпуклости геометрии со школьниками и студентами И.М. Яглом и В.Г. Болтянский, участники кружка Шклярского, продолжившие его дело, написали замечательную книгу « Простейшие выпуклые фигуры».

На Западе происходит настоящий «выпуклый бум», связанный с рождением нового направлении в теории экстремума, получившего названия линейного программирования. Это направление зародилось в нашей стране. Его родоначальником был Леонид Витальевич Канторович, удостоенный за свой вклад в теорию линейного программирования и экономику Нобелевской премии. Результаты Канторовича были переоткрыты на Западе, там было осознано значение выпуклых экстремальных задач при решении актуальных проблем экономики и военно-промышленного комплекса, многие исследователи приняли участие в развитии новой дисциплины, получившей название выпуклого анализа.

Здесь мне хочется коснуться некоторых узловых тем выпуклого анализа, сделав упор на их геометрическую суть.

Выпуклые фигуры.

Многоугольник (и вообще любую фигуру) называют выпуклым, если для любых его двух точек отрезок с концами в этих точках полностью принадлежит многоугольнику (фигуре). В частности, треугольник и круг – выпуклые фигуры, а граница треугольника (трехзвенная замкнутая ломаная) и окружность – невыпуклые фигуры. Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда все его внутренние углы меньше 180° (см. рисунок). Выпуклый многоугольник всегда расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его сторону.

Выпуклыми фигурами являются: треугольник, параллелограмм, трапеция, круг, эллипс (рис.1).

На рис.2 приведены примеры невыпуклых фигур.

Имеются полезные утверждения, которые справедливы для многоугольников независимо от того, выпуклы они или нет:

1. Сумма внутренних углов n-угольника (n ³ 3) равна 180° (n - 2).

2. n-угольник (n ³ 4) имеет ровно

диагоналей (под диагональю многоугольника понимают отрезок, соединяющий любые его две несмежные вершины).

3. Если

и – длины диагоналей четырехугольника, а a – угол между прямыми, проходящими через эти диагонали, то площадь четырехугольника равна .

Кривые постоянной ширины и их применение.

В повседневной жизни нередко возникает необходимость перевезти с места на место тяжелый предмет. Пользоваться при этом тележкой не всегда удобно: оси ее от большой нагрузки могут прогнуться и даже треснуть. В таких случаях тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. По мере продвижения платформы освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а граница круга — окружность — принадлежит к числу замкнутых кривых, обладающих важным свойством — «постоянной шириной».

Если замкнутую кривую поместить между двумя параллельными прямыми и двигать эти прямые до тех пор, пока они не коснутся нашей кривой, то расстояние между параллельными прямыми в момент касания будет называться шириной данной кривой в направлении, перпендикулярном параллельным прямым. Эллипс, очевидно, не имеет одинаковой ширины по всем направлениям: платформа, установленная на катках в форме эллиптического цилиндра, при движении испытывала бы вертикальные перемещения (моряки сказали бы «испытывала дифферент», то есть качку с носа на корму). Именно потому, что окружность имеет одинаковую ширину по всем направлениям, ее можно вращать между двумя параллельными прямыми, не изменяя расстояния между ними.

Существуют ли другие замкнутые кривые постоянной ширины, помимо окружности? Большинство людей считают, что таких кривых нет, показывая, насколько сильно может вводить в заблуждение математическая интуиция. В действительности кривых постоянной ширины бесконечно много. Любая из них может служить поперечным сечением катка, по которому платформа будет катиться так же ровно, как и по цилиндру. Если бы кривые постоянной ширины не были открыты, незнание их привело бы к самым роковым последствиям в технике! Представим себе, что на кораблестроительном заводе собирают корпус подводной лодки, проверяя его

Рис. 3. Треугольник Рело.
а - построение; б - вращение внутри квадрата.

цилиндричность, промерами максимального диаметра по всем направлениям. Как мы вскоре узнаем, корпус мог бы быть чудовищно деформированным и тем не менее благополучно пройти подобные испытания. Именно поэтому цилиндричность корпуса подводной лодки проверяется специальными шаблонами.

Простейшая кривая постоянной ширины, отличная от окружности, называется треугольником Рело в честь математика и инженера Франца Рело (1829—1905), преподававшего в Берлинской королевской высшей технической школе. Сама по себе эта кривая была известна математикам и до Рело, но именно он впервые доказал ее удивительное свойство — постоянство ширины.

Если кривая постоянной ширины ограничена двумя парами параллельных прямых и одна пара пересекается с другой под прямым углом, то кривая постоянной ширины с необходимостью должна быть вписана в квадрат. Подобно окружности или любой другой кривой постоянной ширины, треугольник Рело может вращаться в квадрате, плотно прилегая к сторонам последнего, то есть все время касаясь всех четырех сторон квадрата (рис. 3,б). Читатель может убедиться в этом, вырезав треугольник Рело из картона и вставив его в квадратное отверстие надлежащих размеров.

При вращении треугольника Рело внутри квадрата каждая из вершин треугольника проходит почти весь периметр квадрата. Небольшие отклонения имеются лишь вблизи вершин квадрата: углы получаются слегка закругленными. Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используются его замечательные свойства кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент, имевший в сечении форму треугольника Рело, для сверления квадратных отверстий. С 1916 года одна из фирм приступила к производству сверл Уаттса. «Мы все

Рис. 4. Сверло Уаттса и патрон для зажима сверла.

слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна, — было написано в одной из рекламных листовок этой фирмы. — Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»