Высшая математика (стр. 1 из 2)

Контрольная работа

Высшая математика

ЗАДАЧА 1.

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды

.

Найдите:

а)длину ребра

;

б) косинус угла между векторами

и ;

в)уравнение ребра

_;

г) уравнение грани

С₁; если А₁ (-2,2,2),В₁(1,-3.0), С₁(6,2,4), D₁(5,7,-1).

Решение.

а)Найдем координаты вектора А₁В₁ по формуле

где - координаты точки А₁, -координаты точки В₁.

Итак

={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = = .

Итак, длина отрезка,

(или длина векторе ) равна . Это иесть искомая длинаребра.

б) Координаты

={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами

и вычислим по формуле

cosφ= (А₁В₁, А₁С₁)

|А₁В₁|·| А₁С₁|

где скалярое произведение векторов А₁В₁ и А₁С₁ равно ( , )=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

|

|= , | |= = .

Итак, cosφ= 20 = 10

·

в)Координатыточки А₁(-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀ = 2, а координаты точки В₁(1,-3,0) через X₁ = 1, У₁ = -3, Z₁ = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра

имеет вид

.

г) Обозначим координаты векторов

, и черезХ₁=3, У₁= -5, Z₁= -2 и Х₂=8, У₂= 0, Z₂=2 соответственно. Векторное произведениеданныхвекторов определяется формулой

·A₁C₁ = {Y₁·Z₂-Y₂·Z₁;Z₁·X₂-Z₂·X₁;X₁·Y₂-X₂·Y₂} =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный векторперпендикуляренграни

С₁,то можно воспользоватьсяуравнением плоскости, проходящейчерез точку (Х₀ У₀, Z₀) перпендикулярно вектору{А;В;С},котороеимеет вид A·(X-X₀)+B·(Y-Y₀)+С·(Z-Z₀)=0.

Подставим координаты точки А₁ (Хо= -2, У₀=2, Z₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроемскобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнениеграни

,C₁ имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.

ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

а)методом Крамера;

б)методом Гаусса;

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).

Тогда

, где

Так как Δx= -60; Δy= -60; Δz=60; Δ= -120, то x=

; y=

; z=

.

6) решим данную систему уравненийметодом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарныхпреобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составимрасширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

Умножим каждый элемент первой строки матрицына 4 иприбавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.

=

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

=

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

Данная матрица соответствует системе уравнений

, решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как z=

= и y

z=

, то y

·