Геометрический способ сложения сходящихся сил (стр. 1 из 3)
. Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил
Предположим, что к твердому телу в точках А, В, С, Д приложены силы F1, F2, F3, F4, линии действия которых пересекаются в точке О (рис.1.16а). Перенесем силы вдоль их линий действия в точку О и найдем их равнодействующую. Для определения величины и направления равнодействующей будем последовательно складывать силы по правилу силового треугольника (рис.1.16, б). Сначала найдем равнодействующую R*1 силы F1 и F2, затем R*2 сил R*1 и F3 и т.д. Получим следующее: R*1 = F1 + F2, R*2 = R*1 + F3 = F1 + F2 + F3, R* = R*2 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4
Если сил будет n, то
. (1.6)Совершив построение, видим, что проведение промежуточных векторов R*1, R*2 было излишним, можно было, отложив вектор F1, к концу его приложить вектор, равный F2, затем к концу F2 - вектор, равный F3, и т.д. Равнодействующая R* соединяет начало первого вектора с концом последнего. Полученная фигура называется силовым многоугольником.
Таким образом, равнодействующая системы сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил, линия действия ее проходит через точку пересечения линий действия слагаемых сил. Чтобы найти равнодействующую сходящихся сил геометрическим способом, надо построить в точке пересечений их линий действия силовой многоугольник на слагаемых силах; вектор R*, соединяющий начало первой силы с концом последней (т.е. замыкающая сторона силового многоугольника), является равнодействующей. В частном случае равнодействующая трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). Если силы взаимно перпендикулярны, то параллелепипед будет прямоугольным (рис.1.17). Поскольку сходящаяся система сил может быть заменена одной силой - равнодействующей, то необходимым условием равновесия тела под действием сходящихся сил является равенство нулю этой равнодействующей.
(1.7)Геометрическое условие равновесия сходящихся сил формулируется так: для равновесия системы сходящихся сил необходимо, чтобы их геометрическая сумма равнялась нулю, т.е. чтобы силовой многоугольник, построенный на слагаемых силах, был замкнут.
Теорема. Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием 3-х непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия сил пересекаются в одной точке.
Доказательство
Пусть на тело действуют 3 непараллельных силы F1, F2, F3, лежащие в одной плоскости и приложенные в точках А1, А2, А3 (рис.1.18). Так как силы не параллельны, то, по крайней мере, линии действия двух из них пересекаются в одной точке (точка О).
Найдем их равнодействующую R*1:
R*1 = F1 + F2.
Линия действия равнодействующей R*1 пройдет через точку О. Сила R*1 должна уравновешиваться силой F3, а это возможно лишь в том случае (см. аксиому 1), когда они равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, линия действия силы F3 пройдет через точку пересечения линий действия сил F1 и F2, что и требовалось доказать.
Замечание. Три сходящиеся силы, не лежащие в одной плоскости, находиться в равновесии не могут, так как всегда существует их равнодействующая, которая определится как диагональ параллелепипеда, построенного на этих силах.
Пример. Определить реакции двухшарнирной арки, если на нее действует сила F. Опора в точке А - шарнирнонеподвижная, а в точке В - шарнирная на катках. Размеры указаны на рис.1.19.
Решение
Линию действия реакции опоры В проводим перпендикулярно к поверхности качения катков. Для определения линии действия реакции опоры А применим теорему о 3-х силах. Так как линии действия сил F и RB пересекаются в точке О, то и линия действия силы RA должна пройти через эту точку. Из точки О1 откладываем силу F, из конца которой проводим линию параллельную RB, а из начала линию параллельную RA, получим силовой треугольник. Направление сил RA и RA показываем, исходя из условия замкнутости силового треугольника.
Находим величины сил:
Обновлено 28.07.2009 17: 02
Аналитически определить равнодействующую сходящихся сил можно по проекциям этих сил на неподвижные оси.
Проекция силы на ось, когда сила и ось лежат в одной плоскости (рис.1.20).
Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой со знаком плюс или минус длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы на эту ось. Проекция силы на ось имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу совпадает с положительным направлением оси, и знак минус - если с отрицательным.
Проекция силы на ось (по величине и по знаку) равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси
. (1.8)Из рисунка 1.20 видно, что:
На практике рассматривают только острые углы, а знак проекции определяют непосредственно по чертежу. Например,
. 
Проекция силы на плоскость. Проекцией силы F на плоскость Оxy называют вектор Fxy, заключенный между проекциями начала и конца силы F на плоскость Оxy (рис.1.21). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная. По модулю Fxy = F cosb где b - угол между направлением силы F и ее проекции Fxy.
Проекция силы на ось, когда сила и ось не лежат в одной плоскости. В этом случае удобнее пользоваться следующим приемом:
а) проецируют силу F на плоскость, содержащую данную ось (например, на ось х-плоскость xOy);
б) найденную проекцию силы на плоскость проецируют на данную ось (ось х). Это и дает искомую проекцию силы на ось. В случае, изображенном на рисунке 1.21, найдем, что:
(1.9)Этот метод называется методом двойного проецирования.
Разложение силы по координатным осям. Операция разложения силы обратна операции сложения сил (см. рис.1.17). Следовательно, чтобы разложить силу F по координатном осям x,y,z, необходимо на силе F, как на диагонали, построить прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны данным осям x,y,z (рис.1.22)
По формуле диагонали параллелепипеда имеем:
F = F1 + F2 + F3 (1.10)
где F1, F2, F3 - составляющие силы F параллельные осям x.
Если орты осей координат i, j, k то: F1 = iFx, F2 = jFy, F3 = kFz (1.11) где Fx, Fy, Fz - проекции силы F на оси x,y,z. Подcтавляя (1.11) в (1.10), получаем: F = iFx + jFy + kFz. (1.12)
Формула (1.12) называется формулой разложения силы F по координатным осям. Проекции силы на оси координат определяются по формулам:
. (1.13)Формула (1.12) справедлива при разложении любого вектора по координатном осям.
Аналитический способ определения силы по ее проекциям на координатные оси x,y,z. Если известны проекции силы на координатные оси x,y,z (риc.1.22), то модуль силы определим по формуле как диагональ прямоугольного параллелепипеда:
, (1.14)а ее направление - по трем направляющим косинусам:
. (1.15)Аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил. Пусть на твердое тело действует сходящаяся система сил (F1, F2,... Fn). В таком случае равнодействующая этой системы сил определяется по формуле (1.6), т.е. равна геометрической сумме данных сил: