Геометрия Лобачевского (стр. 12 из 13)
3. Какова бы ни была внутренняя точка А круга Ω. существует инволютивное 
-преобразование, которое переводит точку А в центр О круга Ω, а точку О в точку А.
□ В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка А в этой системе имела координаты А(а, 0). Тогда - преобразование, заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а точку О в точку А.
4. Каковы бы ни были флаги I1 = (A1U1, 
) и I2 = (A2U2, 
), существует -преобразование, которое I1 переводит в I2 (рис. 1).
□ По свойству 3° существуют инволютивные -преобразования f1 и f2, такие, что О = f1(A1) и О = f2(А2), где О - центр круга Ω. Пусть I1' = f1(I1) и I2' = f2(I2). Рассмотрим -преобразование f0, такое, что I2' = f0(I1') (f0 является вращением вокруг точки О или вращением вокруг точки О с последующим отражением от диаметра круга Ω). Тогда f= f2f0f1является искомым -преобразованием, так как f(I1) = f2f0f1(I1) = f2f0(I1 ') = f2(I2 ') = I2.
Отсюда получаем утверждение.
5°. Каковы бы ни были полухорды A1U1и A2U2, существует -преобразование, которое полухорду A1U1 переводит в полухорду A2U2.
6°. Если -преобразование какой-нибудь -флаг переводит в себя, то оно является тождественным преобразованием круга Ω.
В этом пункте для простоты изложения неевклидовы отрезки, лучи, углы, полуплоскости будем называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями. Введем следующие соглашения. Будем считать, что отрезок АВ ранен отрезку А'В', если существует такое -преобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок А'В'. Аналогично угол hkсчитается равным углу h'k', если существует -преобразование f, которое угол hkпереводит в угол h'k' (т. е. h' = f(h) и k' = f(k) или k' = f(h) и h' = f(k)).
Заметим, что если 
hk = h'k', то всегда найдется такое -преобразование f', что h' = f'(h), k' = f'(k). В самом деле, допустим, что равенство hk = h'k' означает существование такого -преобразования, что k' = f(h), h' = f(k). Рассмотрим инволютивное -преобразование f1, которое вершину угла hkпереводит в центр О круга Ω. (свойство 3°). Пусть h1 = f1(h), k1 = f1(k). Если f2 - симметрия с осью, содержащей биссектрису угла h1k1, то k1 = f2(h1), h1 = f2(k1). Поэтому f' = ff1f2f1 является искомым -преобразованием.
Покажем, что все аксиомы группы III Гильберта выполнены.
Ш1. Пусть АВ — данный отрезок, отложенный на луче h, ah' —луч, исходящий из точки А'. Докажем, что существует точка B' 
h', такая, что А'В' = АВ.
Обозначим через AUи A'U' полухорды крута Ω, на которых лежат лучи h и h', а через UV и U'V' соответствующие хорды. Рассмотрим -преобразование f, которое полухорду AUпереводит в полухорду A'U' (свойство 5°). Тогда h' = f(h). Если В' = f(B), то В' h', и по определению А'В' = АВ.
Замечание. В нашей модели на луче h' существует единственная точка В', удовлетворяющая условию АВ = А'В'. В самом деле, U' = f(U), V' = f(V), поэтому (UV, АВ) = (U'V', А'В'). Если допустить, что на луче h' существует другая точка В", такая, что АВ = А'В", то аналогично получаем (UV, АВ) = (U'V', А'В"). Поэтому (U'V', А'В') = (U'V', А'В"). По свойству 1° сложного отношения четырех точек точки В' и В" совпадают.
III2. Выполнение этой аксиомы непосредственно следует нз свойства 1° -преобразований.
III3. Пусть А — В — С, А' — В' — С', АВ = А'В' и ВС = В'С'. Докажем, что АС = А'С'. Рассмотрим полухорды BU1, BU2, B'U'1, B'U'2, на которых лежат соответственно точки А, С, А' и С' (рис. 2). По свойству 5° существует такое - преобразование f, которое полухорду BU1 переводит в полухорду B'U'1. При этом полухорда BU2переходит в полухорду B'U'2. Пусть А1 = f(А), С1 = f(С).
Так как ВА = В'А' по условию и ВА = В'А1 по построению, то точки А' и А1 совпадают, т. е. А' = f(A) (см. замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что точки С и С1 совпадают, поэтому С' = f(C). Таким образом, -преобразование f отрезок АС переводит в отрезок А'С', т. е. АС = А'С'.
III4. Пусть даны угол hkи флаг (A', h', λ'). Докажем, что существует единственный луч k' λ' такой, что hk = h'k'. Для этого рассмотрим -флаги I = (AU, 
) и I' = (A'U', '), которые выбраны так, что h AU, h' A'U', k , λ' '. По свойству 4° существует такое -преобразование f, что I' = f(I). Луч k' = f(k) является искомым, так как k' λ' , и по определению равенства углов hk = h'k'.
Предположим, что k" — луч, удовлетворяющий условиям: hk = = h'k'' и k" I'. Тогда, очевидно, h'k' = h'k", поэтому существует такое -преобразование f, что h' = f(h'). k" = f(k'). Отсюда мы заключаем, что преобразование f -флаг I' переводит в себя. По свойству 6° f — тождественное преобразование круга Ω, следовательно, лучи h' и k" совпадают.