Геометрия Лобачевского (стр. 13 из 13)
Ш5. Пусть в треугольниках ABCи А'В'С имеем АВ = А'В', АС = А'С' и 
ВАС = В'А'С'. Докажем, что ABC= А'В'С'.
Так как ВАС = В'А'С', то существует такое 
-преобразование f, которое переводит луч АВ в луч А'В', а луч АС в луч А'С'. Пусть В1 = f(B) и С1 = f(C). Так как A' = f'(А), то АВ = А'В1. Но по условию АВ = А'В'. поэтому точки В1 и В' совпадают, т. е. В' = f(B) (см. замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что С' = f(С). Таким образом, -преобразование f точки А, В, С переводит соответственно в точки А', В', С', поэтому ABC = = А'В'С.
IV1 и IV2. Группа IV аксиом Гильберта эквивалентна предложению Дедекинда. Ясно, что предложение Дедекинда выполняется на построенной нами модели, поэтому выполняются аксиомы IV1 и IV2 Гильберта.
V*. Возьмем произвольную прямую UVи точку А, не лежащую на ней. Рассмотрим прямые UU1и VV1, проходящие через точку А (рис. 3). Эти прямые не пересекаются с прямой UV, так как евклидовы точки Uи Vне являются неевклидовыми точками прямой UV. Таким образом, имеет место аксиома V* Лобачевского.
Таким образом, построив евклидову модель Кэли — Клейна, мы тем самым доказали, что система аксиом I1-3, II1-4, III1-5, IV1-2, V* непротиворечива, если непротиворечива система аксиом ∑Н Гильберта.
Вывод: Vпостулат Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовой планиметрии.
Литература
Основная
1.Александров А.Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов. М..; Наука, 1987 г.
2.Атанасян Л..С, Базылев В.Г. Геометрия, ч П. М.; 1989 г.
3.Базылев В.Т., Дуничев К.И.. Геометрия, ч П. М.; 1975 г.
4.Сборник задач по геометрии под редакцией В.Т. Базылева, М.; 1980 г.
5.Сборник задач по геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна, ч П. М.; 1978г.
Дополнительная
1.Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Гостехиздат, 1948 г.
2.Каган В.Ф. Основания геометрии, ч I.M.; Л.; Гостехиздат, 1949 г
3.Костин В.И. Основания геометрии. М.; Л.; Учпедиздат, 1946 г.
4.Погорелов А.В. Основания геометрии. М.; Наука, 1968 г.