Геометрия Лобачевского (стр. 3 из 13)
Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч угла QPBпересекает луч QD (рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.
Имеет место следующий признак параллельности прямых.
Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.
доказательство
Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому. Докажем теорему о существовании параллельных прямых.
Теорема 2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.
доказательство
Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, aMN— перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой aдве точки A и В так, чтобы А — N — В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).
В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMNи FMNострые, поэтому CD и EF—различные прямые.Докажем, что 
DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN ≠ FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MFотносительно прямой MN(луч MF' не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MFне пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.
Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.
Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. На этом рисунке 2-8 NMD— угол параллельности в точке М относительно прямой a, aN'M'D' — угол параллельности в точке М' относительно прямой а', α = NMD, x = MN, α' = N'M'D' , x' = M'N'. Докажем, что если х = х', то α = α' . Пусть, напротив, α' ≠ α, например α' > α. Тогда существует внутренний луч h’ угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h' равен α . Луч h' пересекает прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F' так, чтобы точки Fи D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику МN'F' (треугольник MNFна рис. 2-8 не изображен). Так как NMF = α, то лучи MDи MFсовпадают. Мы пришли к выводу, что прямые MDи а пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, α. = α'.
Итак, α — функция от х: α = П(х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что 0 < П(х) < 
.
Н.И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:
,
где k— некоторое положительное число.
Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между О и . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.
Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный 
.
Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.
Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.
доказательство
Следствие. Сумма углов трегольни- ка непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.
доказательство
Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.
доказательство
Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
доказательство
Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD— двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны ADи ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.
1°. Если ABCD— четырехугольник Саккери с основанием АВ, то 
С = D и каждый из углов С и D острый.
Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра dк отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч АD — в луч ВС (так как A = B = d).Bсилу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC— в угол BCD. Таким образом, C = D.
По теореме 2 А + В + С + D < 4d, поэтому С + D < 2d. Но так как С = D, то каждый из этих углов острый.
2°. Если в двупрямоугольнике ABCDс основанием АВ AD< ВС, то С < D.
Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра dк отрезку АВ. При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а точка D — в точку D' луча ВС (рис. 2-13). Так как АD < ВС и AD = BD', то BD' < ВС, поэтому D' — точка отрезка ВС. Четырехугольник ADD'В является четырехугольником Саккери, поэтому по свойству 1° 1 = 2. Но 1 < ADC, a 2> DCB ( 2 — внешний угол треугольника CDD'). Таким образом, DCB< АDC.