Геометрия Лобачевского (стр. 8 из 13)

Следовательно, если Uи V— точки пересечения прямой XYс линией Q, то векторы

и , порождающие эти точки, имеют вид:

Отсюда находим (XY, UV) = е²^t, поэтому

. Правая часть этого равенства меняет знак при перемене мест точек Uи V. Но так как t> 0, то надо считать, что

Таким образом,

(4)

Так как (ХV, UV) = (XY, VU)^-1, то расстояние между точками X, Y, вычисленное по этой формуле, не зависит от порядка, в котором берутся точки Uи Vв формуле (4). Таким образом, формулу (4) можно записать также следующим образом:

(4’)

В случае

< 0 мы получаем те же формулы (4) или (4').

4. Трехвершинник A₁A₂A₃называется автополярным трехвершинникомвторого рода для овальной линии второго порядка Q, если точки A₁, A₂лежат на этой линии, а прямые A₁A₃и А₂Аз являются касательными к ней в точках А₁ и А₂ соответственно. Следовательно, каждая из сторон такого трехвершинника является полярой одной из его вершин, а именно: А₁А₃ — поляра точки А₁, А₂А₃ — поляра точки А₂ и А₁А₂ — поляра точки А₃ (отсюда и термин «автополярный») .

Пусть A₁A₂A₃ — автополярный трехвершинник второго рода для овальной линии Q. Выберем проективный репер R— (A₁,A₂,A₃, E), где EÎQ . Тогда нетрудно заметить, что в таком репере кривая Q определяется уравнением

Рассмотрим стационарную подгруппу H_Qабсолюта Qв проективной группе плоскости Р₂. Если fÎH_Q, то f индуцирует некоторое преобразование f_Λ на плоскости Λ₂, так как в преобразовании fвнутренняя область абсолюта переходит в себя. Формула (4) показывает, что преобразование f_Λ сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости Λ₂, поэтому f_Λ называется движением плоскости Λ₂. Очевидно, множество всех движений плоскости Λ₂ образует группу, которая индуцируется группой H_Q.

Две фигуры F, F'Î Λ₂ называются равными (конгруэнтными), если они H_Q – эквивалентны.

Каждое преобразование fÎH_Qпереводит любой автополярный трехвершинник второго рода для абсолюта Qв автополярный трехвершинник второго рода для этого же абсолюта. Поэтому движение f_Λ, которое индуцируется преобразованием f, однозначно определяется заданием упорядоченной пары реперов: R=(A₁,A_2,A₃, Е), R'=(A'₁,A'_2,A'₃, Е'), где A₁A₂A₃ и A'₁A'₂A'₃— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Qи Е, Е'ÎQ. Обратно: пусть (A₁,A_2,A₃, Е) и (A'₁,A’_2,A’₃, Е') — два репера, удовлетворяющие вышеуказанным условиям. Тогда проективное преобразование f, которое переводит репер Rв репер R', принадлежит стационарной подгруппе H_Q, поэтому порождает некоторое движение f_Λ. Мы доказали следующее утверждение: каковы бы ни были два репера R=(A₁,A_2,A₃,Е) и R'=(A'₁,A'_2,A'₃, Е'), где A₁A₂A₃ и A'₁A'₂A'₃— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q, а Е, Е'ÎQ, существует одно и только одно движение f_Λ плоскости Λ₂, которое индуцируется проективным преобразованием feH_Q, переводящим репер R в репер R'.

Замечание. Заметим, что плоскость Лобачевского может быть реализована «в малом» на поверхности постоянной отрицательной кривизны, т. е. на псевдосфере. Пусть F— гладкая элементарная поверхность достаточно малого размера. (Это значит, что вся она лежит в некоторой e-окрестности одной из своих точек при достаточно малом e.) Тогда геодезические линии поверхности Fявляются аналогом прямых линий на плоскости. Если Fлежит на псевдосфере, то (как и на плоскости Лобачевского) сумма углов геодезического треугольника поверхности Fменьше p. Поэтому можно сказать, что на псевдосфере реализуется «в малом» геометрия Лобачевского.

О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского

1. Так как все интерпретации системы аксиом Σ_Λ2 плоскости Лобачевского изоморфны, то всю геометрию Á(Σ_Λ2) можно получить с помощью одной из них, например, с помощью интерпретации Кэли — Клейна.

Возьмем на плоскости Λ₂ прямую UVи точку А, не лежащую на этой прямой (рис.3-3). Через точку А проведем прямые U'Vи UV’. Рассмотрим прямые UV’ и U'V. Эти прямые не пересекаются на плоскости Лобачевского Λ₂. Но для произвольной точки СÎUVлюбой внутренний луч ADугла CAVпересекает луч CV. Следовательно, по определению параллельных прямых на плоскости Λ₂ (§1 Гл.2) прямая U'Vпараллельна прямой UV. Мы знаем, что отношение параллельности двух прямых на плоскости Лобачевского симметрично (§3 Гл.2, теорема 1). Следовательно, и прямая UVпараллельна прямой U'V. Мы скажем, что эти прямые параллельны в направлении V. Точно так же убеждаемся, что прямые VUи VUпараллельны в направлении U.

Таким образом, в интерпретации Кэли — Клейна параллельные прямые изображаются хордами абсолюта Q, имеющими общий конец.

Прямые UVи MNна рисунке 3-3 расходятся. Можно сказать, что расходящиеся прямые изображаются такими хордами абсолюта, что содержащие их проективные прямые пересекаются в точке, внешней относительно абсолюта.

2. В §3 Гл.2 мы изучили некоторые свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского. Рассмотрим еще два свойства, для доказательства которых воспользуемся моделью Кэли — Клейна, так как на этой модели эти свойства доказываются значительно проще.

Теорема 1. На плоскости Лобачевского отношение параллельности прямых в одном и том же направлении транзитивно.

доказательство

Теорема 2. Пусть на плоскости Лобачевского даны две пары параллельных прямых: прямые UV, U\V, параллельные в направлении V, и прямые U'V, U\V, параллельные в направлении V(рис. 3-4). Тогда существует движение, которое переводит первую пару параллельных прямых во вторую.

доказательство

3. Докажем теорему о перпендикулярных прямых на модели Кэли — Клейна.

Теорема 3. Прямые АВ и CD на плоскости А₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда они изображаются хордами абсолюта Q, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.

доказательство

Замечание. Используя доказанную теорему, легко решить следующую задачу на модели Кэли — Клейна. На плоскости Λ₂ даны прямая UVи точка А, не лежащая на ней (рис.3-6, а). Построить прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную к прямой UV. На плоскости Р₂ строим полюс Р проективной прямой UVи проводим проективную прямую АР, которая пересекает абсолют Qв точках U₁, V₁(рис. 3-6, б). По доказанной теореме хорда U₁, V₁является искомой прямой плоскости Λ₂.

4. Мы отметили, что в интерпретации Кэли — Клейна две расходящиеся прямые изображаются такими хордами абсолюта, что проективные прямые, содержащие эти хорды, пересекаются во внешней точке относительно абсолюта. Выше было доказано, что если две прямые имеют общий перпендикуляр, то они расходятся (§3 Гл.1, теорема 3). Докажем обратную теорему.

Теорема 4. Две расходящиеся прямые UV и U'V' имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Пусть Р и Р' — полюсы проективных прямых UVи U'V’ соответственно, aS — точка пересечения проективных прямых UVи U'V’ на проективной плоскости Р₂ (рис. 3-7). Прямая РР' проходит через полюсы прямых UVи U'V’, поэтому по теореме взаимности поляритета проективные прямые UVи U'V’ проходят через полюс прямой РР'. Но UV∩U'V’=S, следовательно, S — полюс прямой РР'. По условию S — внешняя точка относительно абсолюта, и, значит, ее поляра — прямая РР' пересекает абсолют в двух точках U₀и V₀.

Так как проективная прямая U₀V₀проходит через полюсы Р и Р' прямых UVи U'V(рис.3-7), то по теореме 3 U₀V₀^UVи U₀V₀^U’V’, т. е. прямая U₀V₀на плоскости Λ₂ является общим перпендикуляром двух расходящихся прямых UVи U'V’. Такая прямая единственная, так как по этой же теореме искомая хорда абсолюта должна лежать на проективной прямой, проходящей через точки Р и Р', а через две точки проективной плоскости проходит только одна прямая.

Понятие о сферической геометрии

1. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, лежащих на сфере евклидова пространства.

Пусть S — некоторая сфера с центром О радиуса r. Возьмем плоскость s, удаленную от точки О на расстояние, меньшее r. Тогда пересечение плоскости s и сферы S есть окружность, которую назовем большой окружностью, если ОÎs, и малой окружностью, если ОÎs.