Тема: «Геометрия Лобачевского»
Выполнила: Зайнулина Г.
Г.Бишкек 2010
Н.И. Лобачевский и его геометрия
До начала XIX столетия ни одна из попыток доказательства V постулата не увенчалась успехом. Таким образом, проблема V постулата оставалась неразрешимой. И только в начале XIX в. были получены результаты, которые привели к решению этой проблемы. Основная заслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н.И. Лобачевскому. Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н.И. Лобачевский — профессор того же университета, с 1827 по 1846 г. — ректор университета. С 1846 по 1855 г.— помощник попечителя Казанского учебного округа. Н.И. Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г. В течение первых лет преподавательской деятельности в Казанском университете Н.И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, Н.И. Лобачевский построил логическую систему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида. 7 февраля (по старому стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годы Лобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии. Лобачевский развивает свою геометрию на плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова геометрия, включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией). Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования, проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведет к противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для того времени. Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению. Примерно в одно время с Н.И. Лобачевским теорией параллельных прямых занимались великий немецкий математик Гаусс (1777—1855) и выдающийся венгерский математик Я. Бояи (1802— 1860). Но Гаусс не опубликовал ничего по теории параллельных, боясь, что его не поймут. После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии. Я. Бояи опубликовал в 1832 г. (через три года после публикации Лобачевского и, не зная о последней) на латинском языке произведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...». В этой работе, составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, Янош Бояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитой форме. Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков, воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из его современников (и даже академиком М.В. Остроградским — одним из крупнейших математиков XIX в.). Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бояи, внимание математиков всего мира было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г. В ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевского. Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф. Клейн (1849—1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомерности. Исследования Лобачевского получили широкое признание после его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIX в. Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии. Выше было отмечено, что с научной точки зрения систему аксиом и постулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны. В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии. В конце XIX и в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики. Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н.И. Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. В следующих двух параграфах рассмотрим краткий обзор системы аксиом Гильберта.
Система аксиом Гильберта (обзор)
По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества — прямыми, а элементы третьего множества — плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами А, В, С, ...; а, b, с, ...; α, β, γ, …. Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые перечислены ниже.
Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.
Группа I. Аксиомы принадлежности.
Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом.
I1. Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.
I2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
I3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
I4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
I5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.
I6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости α, то каждая точка прямой а лежит в плоскости α.
В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости α или плоскость α проходит через прямую а.
I7. Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
I8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислим некоторые из этих теорем.
1. Две прямые имеют не более одной общей точки.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.
3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.
4. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Группа II. Аксиомы порядка.
Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А — В — С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.
II1. Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С — В — А.