Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 11 из 12)
Положим
Теорема.
Пусть
– последовательность взаимно независимых случайных величин. Тогда условия 
= 
, 
, 
, необходимы и достаточны для устойчивости величин
, 
При этом постоянные 
, 
, можно принять равными 
, так что в случае 
(и только в этом случае) устойчивость нормальная.Доказательство.
Достаточность условий теоремы устанавливается просто. В самом деле поскольку
а согласно неравенству Чебышева 
то
Для доказательства необходимости нам понадобится ряд вспомогательных предложений.
Лемма 1.
Пусть
– независимые события, 
, 
и для некоторого 
. Если, кроме того, событие 
таково, что для каждого 
, то тогда 
.Доказательство.
Если существует такой номер
, что 
, то 
.Пусть теперь для всех
.Тогда найдётся такое
, что 
, и, значит, для всех 
, 
, 
.Отсюда
.Что и требовалось доказать.
Лемма 2.
Пусть
– независимые, ограниченные, 
, 
, случайные величины с нулевыми средними. Тогда для всякого 
и целого 
, где 
.Доказательство.
Пусть
, 
, 
, 
, 
. Замечая, что на множестве 
, получаем 
Из неравенства
следует, что 
.Поэтому
при любом 
. Значит 
и 
.Что и требовалось доказать.
Лемма 3.
Пусть
– независимые, ограниченные случайные величины, причём 
, 
. Тогда 
.Доказательство.
Обозначим
, . Если 
или 
, то правая часть в доказываемом неравенстве отрицательна и неравенство очевидно.Пусть теперь одновременно
, 
. Тогда достаточно показать, что 
, поскольку, очевидно, 
.Обозначим
. Если 
, то 
и, значит, 
Предположим, теперь, что
.Обозначая
и применяя лемму 2, находим
Отсюда 
На множестве
.Поэтому
.Ясно также, что
.Следовательно,
и, значит,
.Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы. Необходимость.
Пусть последовательность
, 
такова, что для любого 
, 
. Покажем, что тогда 
, .Обозначим для данного
, 
, 
.Поскольку
– медиана 
, то 
.