Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 2 из 12)
5. Вероятность какого-нибудь события есть отношение значения, которое даётся ожиданию, связанному с наступлением события, и значения ожидаемой в этом случае прибыли.
6. Под шансом я понимаю то же самое, что и под вероятностью.
7. События являются независимыми, если наступление одного не уменьшает и не увеличивает вероятности остальных [1,2].
Некоторые из этих определений, например 1 и 7, почти полностью совпадают с современными. Определение же вероятности не отличается ясностью, возможно потому, что в формулировке используется неопределённое понятие: «значение ожидания, связанного с наступлением события».
Во втором разделе своей работы Байес пользуется геометрическим определением вероятности в его современном смысле (не определяя его), решая задачу о бросании шара W на квадратную доску ABCD
На AB берутся две любые точки f и b и через них CFsLDпроводятся линии, параллельные ADдо пересечения с CD в точках F и L. После этого Байес формулирует следующую лемму.
Лемма.
Вероятность того, что точка O (точка остановки OOшара) будет находиться между двумя какими-нибудь точками линии AB, есть отношение расстояния между двумя точками ко всей линии AB.
Другими словами, вероятность того, что шар, брошенный случайным образом на ABCD, остановится в прямоугольнике bfFL, равна
. Аналогично мы вычисляем геометрическим способом вероятность и сейчас, как отношение мер.P(A)=
, ( 
) – вероятностное пространство, 
–класс или семейство подмножеств в 
, 
–область в ,P-вероятность.
Но у Байеса не было определения геометрической вероятности.
Кондорсе (1743–1794 гг.), известный политический и общественный деятель буржуазной французской революции, занимался вопросами теории вероятностей. В своей работе «SuiteduMemoiresurlecalculdesProbabilites» Кондорсе пытался наряду с вероятностью ввести понятие «собственно вероятность» [1,2].
«Не следует понимать под собственно вероятностью события отношение числа имеющих место сочетаний к общему числу сочетаний. Например, если из 10 карт извлекается одна карта и свидетель говорит, что это была именно такая-то карта, то собственно вероятность этого события, которую нужно сопоставить с вероятностью рождающейся из свидетельства, не есть вероятность извлеч эту карту, которая будет
, а есть вероятность извлеч эту карту предпочтительно, чем другую какую-либо определённую карту, и так как все эти вероятности одинаковы, то собственно вероятность будет в этом случае 
…В случае, когда извлекается одна из десяти карт, число сочетаний, при которых извлекается какая-либо определённая карта, есть единица и число сочетаний, при которых будет извлечена какая-либо другая определённая карта, тоже есть единица, значит, собственно вероятность выразится –
.»Понятие собственно вероятности необоснованно. Его противопоставление понятию вероятности чисто субъективное и математически ничем не подтверждено. Возможно именно поэтому в науке оно не сохранилось.
К XVIII в. понятие вероятности уже очень активно использовалось при решении различных задач.
Л. Эйлер (1707–1783 гг.), исследуя различные лотереи, которые предлагали Прусскому королю Фридриху II для пополнения казны государства, пользовался именно классическим определением вероятности.
1.2 Появление классического определения понятия вероятности
П. Лаплас (1749–1827 гг.) в своих лекциях под названием «Опыт философии теории вероятностей» вводил следующее классическое определение вероятности: вероятность P(A) события A равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию A, к числу всех возможных результатов испытания. В этом определении предполагается, что отдельные возможные результаты испытания равновероятны [1,2].
Этому определению вероятности Лаплас придал субъективный смысл, введя принцип недостаточности или отсутствия оснований. Этот принцип состоит в том, что если вероятность события неизвестна, то мы для её значения назначаем некоторое число, которое нам представляется разумным. В случае, если мы имеем несколько событий, которые составляют полную систему, но не знаем вероятности каждого события в отдельности, то мы считаем, что все эти события равновероятны.
Магистр философии Сигизмунд (Зигизмунт) Ревковский (1807–1893 гг.) в 1829/30 г. впервые в России стал читать курс теории вероятностей. Вероятность он называл мерой надежды, величиной надежды и давал ей классическое определение.
Н.И. Лобачевский серьёзно занимался теорией вероятностей. В своей работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» он определяет вероятность, следуя Лапласу: «под словами вероятность разумеют содержание числа благоприятных случаев к числу всех случаев вместе». Равновозможность случаев, очевидно, подразумевалась Лобачевским.
Профессор математики Московского университета Зернов Н.Е. (1804–1862)
в своей речи «Теория вероятностей, с приложением преимущественно к смертности и страхованию», которая была издана в 1843 г., ввёл определение вероятности (
) и любопытное определение понятия относительной вероятности.«Вероятность событий, рассматриваемых в таком виде, как будто прочие события совсем не имели места, называется вероятностью относительного. Относительная вероятность какого-либо события равна частному, происшедшему от деления самостоятельной вероятности того же события на сумму сей последней вероятности и противоположной ей, также самостоятельной».
Это определение сопровождается примером. В сосуде имеется 3 красных, 1 чёрный, 2 белых шара. Вероятность вытащить красный шар
; 
; 
– это всё вероятности самостоятельные. Держат пари относительно появления белого или чёрного шара, не обращая внимания на красные. Вероятность выиграть пари на белом шаре – 
, на чёрном – 
. Это, по Зернову, относительные вероятности. Для них справедливы соотношения: 
; 
.Даже на этом примере видно, что понятие относительной вероятности излишне (можно рассматривать, что в урне только 2 белых и 1 чёрный шар).
Крупным представителем русской теории вероятностей был М.В. Остроградский. В своей статье «О страховании», опубликованной в журнале «Финский вестник» в 1847 г., Остроградский трактует понятие вероятности с субъективных позиций, как меру уверенности познающего субъекта [1].
Он подробно говорит о том, что вероятность есть мера нашего незнания, что это субъективное понятие, что у вероятности в субъективном мире нет никакого соответствия, что весь мир детерминистичен и случайного в нём нет, есть только то, что мы не знаем или не познали, которое мы и называем случайным.
«Если явление совершенно зависит от нескольких других явлений или случаев, из которых одни могут его произвести, другие ему противны, и если притом все эти случаи таковы, что для нас, мы повторяем, для нас, нет причины одни из них предпочитать другим, то вероятность ожидаемого явления измеряется дробью, которой числитель равен числу случаев, доставляющих явление, – а знаменатель числу всех случаев». Это утверждение совпадает с так называемым классическим определением Лапласа с толкованием равновозможности, как недостаточности оснований давать предпочтение одним событиям перед другими. Рассматривается пример. В урне находится 5 шаров (3 белых и 2 чёрных), из неё извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар будет белым? Относительно этого примера Остроградский пишет: «Пять шаров находятся в вазе; нет никакой причины думать, что один из них попадёт в руку скорее, нежели другой. Говоря, нет никакой причины, разумеем, что её нет для нас, – она есть, но совершенно нам неизвестна.… И как мы не можем дать одному шару преимущество пред другим, то все шары представляют для нас случаи равновозможные. Тот, кто знал бы расположение шаров в урне и мог бы вычислить движение вынимающей руки, тот сказал бы наперёд, какой именно выйдет шар, – для него не было бы вероятности.
Если бы для нас, в самом деле, не было причин вынуть такой-то шар, а не другой, тогда появление шара было бы действительно невозможно, как невозможно действие без причины.
Мы повторяем, что вероятность и одинаковая возможность случаев, и мера вероятности существуют только для нас. Для существ же всеведущих, т.е. имеющих все сведения обо всех явлениях, вероятность не может иметь не только меры, но и никакого значения.