Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 5 из 12)
3.2 Появление теорем Бернулли и Пуассона – простейших форм закона больших чисел
Я. Бернулли писал: «…И что не дано вывести apriori то, по крайней мере, можно получить aposteriori, т.е. из многократного наблюдения результатов…».
Бернулли утверждает, что если в азартных играх всегда можно посчитать число случаев, а сами случаи встречаются одинаково легко, то в других явлениях в природе и обществе ни то ни другое не имеет.
«Всё дело сводится к тому, чтобы для правильного составления предложений о какой-либо вещи были точно исчислены как числа случаев, так и было бы определено насколько одни случаи могут легче встретиться, чем другие…». Но это совершенно невозможно сделать для большинства явлений. Однако Бернулли нашёл выход из сложившейся ситуации. Он утверждает, что при увеличении числа испытаний, частота появления какого-либо события будет мало отличаться от вероятности появления этого события. И чем больше число испытаний, тем меньше это отличие. «Следует заметить, что отношение между числами случаев, которые мы желаем определить опытом, понимается не в смысле точного отношения…, но до известной степени приближённого, т.е. заключённого в двух границах, которые можно взять сколь угодно тесными».
В помощь доказательству своей теоремы Бернулли доказывает ряд лемм [1].
Лемма 1.
Рассматриваются два ряда
0, 1, 2, …, r– 1, r, r + 1, …, r + s;
0, 1, 2, …, nr – n, …, nr, …, nr + n, …, nr + ns 
и утверждается, что с увеличением n растёт количество членов между nr и nr + n; nr и nr– n; nr + n и nr + ns; nr и 0. Кроме того, как бы велико ни было n, число членов после nr + n не будет превышать более чем в s– 1 раз число членов, заключённых между nr и nr + n или между nr и nr– n, а также число членов до nr– n не будет превышать более чем в r– 1 раз число членов между теми же числами.
Доказательство.
Найдём количество членов между указанными в лемме членами рассматриваемых рядов. Для этого введём обозначения:
-число членов между nr и nr+n; 
-число членов между nrи nr-n; 
-число членов между nr+n и nr+ns; 
-число членов между nr и 0; 
-число членов после nr+n; 
-число членов до nr-n. 
; 
; 
; 
.Очевидно, что с увеличением n (т.е. при
) , 
, , будут неограниченно возрастать.Найдём число членов после nr+n(
), очевидно, что = = 
.Очевидно, что
= 
= 
, т.е. число членов после nr+n не превышает более чем в s-1 раз число членов заключённых между nr и nr+n или между nrи nr-n, для любого n.Найдём число членов до nr-n(
), очевидно, что 
, а значит = 
= 
, т.е. число членов до nr-n не превышает более чем в r-1 раз число членов заключённых между nr и nr+n или между nrи nr-n, для любого n.Что и требовалось доказать.
Лемма 2.
Всякая целая степень какого-либо двучлена r + sвыражается числом членов, на единицу большим числа единиц в показателестепени.
Доказательство.
Рассмотрим
, где x 
(x – целое число) = 
.Составим ряд из степеней одночлена s (или r)
0,1,2,…, x-2, x-1, x. Число членов в этом ряду равно x+1.
Т. о. всякая целая степень двучлена r + sвыражается числом членов, на единицу большим числа единиц в показателестепени. Что и требовалось доказать.
Лемма 3.
В любой степени двучлена r + s, по крайней мере в t=r+sили nt=nr+ns, некоторый член M будет наибольшим, если числа предшествующих ему и следующих за ним членов находятся в отношении s к rили, что то же, если в этом члене показатели букв rи sнаходятся в отношении самих количеств rи s; более близкий к нему член с той и другой стороны больше более удалённого с той же стороны; но тот же член M имеет к более близкому меньшее отношение, чем более близкий к более удалённому при равном числе промежуточных членов.
Доказательство.
Отмечается, что коэффициенты членов равноудалённых от концов равны. Число всех членов nt+1=nr+ns+1. Наибольший член будет:
M=
= 
.Mможно записать в другом виде, воспользовавшись следующей формулой
.M=
= 
.Ближайший к нему слева член равен
;справа –
.Следующий слева –
;справа –
и т.д. 
; 
; 
; 
, и т.д.Очевидно, что:
, M-наибольший член.Что и требовалось доказать.
Лемма 4.
В степени двучлена с показателем ntчисло nможет быть взято столь большим, чтобы отношение наибольшего члена Mк двум другим Lи
, отстоящим от него налево и направо на nчленов, превзошло всякое данное отношение.Доказательство.