Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 6 из 12)

;

Для доказательства леммы необходимо установить, что

Но эти отношения будут бесконечно большими, когда n полагается бесконечным, ибо тогда исчезают числа 1, 2, 3 и пр. по сравнению с n, и сами числа

и пр.

и пр. будут иметь те же значения, как

. После этого отбросив эти числа и проведя соответствующие сокращения на n, получим, что

;

Количество сомножителей в числителе и знаменателе равно n. Вследствие чего эти отношения будут бесконечными степенями выражений:

и поэтому бесконечно большими.

Таким образом, мы выяснили, что в бесконечно высокой степени двучлена отношение наибольшего члена к другим L и

превосходит всякое заданное отношение.

Что и требовалось доказать.

Лемма 5.

Отношение суммы всех членов от L до

ко всем остальным с увеличением n может быть сделано больше всякого заданного числа.

Доказательство.

M– наибольший член разложения.

Пусть соседние с ним слева будут F, G, H,…;

пусть соседние с L слева будут P, Q, R,….

На основании леммы 3 имеем:

;

, …или

<….

Так как по лемме 4, при n бесконечно большом, отношение

бесконечно, то тем более будут бесконечными отношения

,…, и потому отношение

также бесконечно, т.е. сумма членов между наибольшим M и пределом L бесконечно больше суммы такого же числа членов за пределом L и наиболее к нему близких. И так как число всех членов за пределом L превышает, по лемме 1, не более чем в s-1 раз (т.е. конечное число раз) число членов между этим пределом и наибольшим членом M, а сами члены делаются тем меньше, чем дальше они отстоят от предела, по первой части леммы 3, то сумма всех членов между MиL (даже не считая M) будет бесконечно больше сумм всех членов за пределом L. Аналогичное утверждение можно доказать относительно членов между Mи

. Оба эти утверждения и доказывают лемму.

Что и требовалось доказать.

Главное предложение.

Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближённо, как rкs, или к числу всех случаев, как rкr+sили rкt, это отношение заключается в пределах

. Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (c раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадёт в эти пределы, а не вне их, т.е. отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет не более чем

и не менее

Доказательство.

Пусть число необходимых наблюдений будет nt. Вероятность того что все наблюдения будут благоприятны, равна

что все кроме одного–

кроме двух

и т.д.

А это есть члены разложения (r+s) в степени nt (делённые на

), которые исследовались в прошлых леммах. Все дальнейшие выводы основываются на доказанных леммах. Число случаев с ns неблагоприятными набдюдениями и nr благоприятными даёт член M. Число случаев, при которых будет nr+nили nr-n благоприятных наблюдений, выражается членами L и

, отстоящих на n членов от M. Следовательно, число случаев, для которых благоприятных наблюдений окажется не более nr+n и не менееnr-n, будет выражаться суммой членов, заключённых между L и

. Общее же число случаев, для которых благоприятных наблюдений будет или больше nr+n или меньше nr-n, выражается суммой членов, стоящих левее L и правее

Так как степень двучлена может быть взята столь большая, чтобы сумма членов, заключённых между обоими пределами L и

превосходила более чем в c раз сумму всех остальных из этих пределов выходящих, по леммам 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдений, чтобы число случаев, при которых отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех оказывается заключённым в пределы

или

, превышало более чем в c раз число остальных случаев, т.е. сделалось более чем в c раз вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех заключается в пределах

, а не вне этих пределов.