Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 8 из 12)

Зададимся некоторым значением

и вычислим вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на : .

Для этого отложим от точки

вправо и влево по отрезку длиной ; получим отрезок . Вероятность есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка попадёт не внутрь отрезка , а вовне его (концы отрезка мы в него не включаем): .

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений

, которые лежат вне отрезка . Это мы запишем следующим образом:

, где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения , для которых точки лежат вне отрезка .

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины

по определению:

.

Так как все члены суммы

неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим её не на все значения , а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка :

.

Заменим под знаком суммы выражение

через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться, значит:

.

Но согласно формуле

сумма, стоящая в правой части этого неравенства есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка , следовательно , откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае когда величина

непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей элементом вероятности, а конечных сумм – интегралами. Действительно,

,

где

– плотность распределения величины . Далее, имеем:

,

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величин.

Что и требовалось доказать.

Как следствие из своего неравенства Чебышев получает следующую теорему.

Теорема.

Если математические ожидания величин

не превосходят какого-либо конечного предела, то вероятность, что среднее арифметическое N таких величин от среднего арифметического их математических ожиданий разнится менее чем на какую-нибудь данную величину, с возрастанием числа N до , приводится к единице.

Доказательство.

Действительно, рассмотрим случайную величину

, представляющую собой среднюю арифметическую из данных случайных величин.

;

;

.

Если ограничены математические ожидания случайных величин и их квадратов, то ограничены также и дисперсии, т.е. Все

, где c-некоторое число. Тогда .

Применим теперь неравенство Чебышева к

:

, или

.

Переходя к пределу, получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Это и есть теорема Чебышева – закон больших чисел Чебышева. Эта теорема устанавливает, что при достаточно больших n с вероятностью, близкой к единице, можно полагать, что среднее арифметическое случайных величин как угодно мало колеблется около некоторого постоянного числа–среднего их математических ожиданий.

Теоремы Пуассона и Бернулли являются частными случаями закона больших чисел Чебышева.

Действительно, пусть в n испытаниях, событие A наступает с вероятностями

и не наступает с вероятностями . Рассмотрим случайную величину – число наступлений события A в i-ом испытании. Тогда

; ; ,

удовлетворяет условиям теоремы Чебышева, т.е.

, или

,

где

–среднее арифметическое из вероятностей наступлений событий в отдельных испытаниях. А это и есть теорема Пуассона.

Если все

, то и , и мы получим теорему Бернулли:

.

Любопытно, что Чебышев не называл доказанную теорему «законом больших чисел», хотя теорема Пуассона получается из неё как частный случай.

Зная, что теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева попробуем доказать её как прямое следствие закона больших чисел Чебышева (т.е. приведём современное доказательство теоремы Бернулли [3]). Повторим современную формулировку теоремы Бернулли.

Теорема.

Пусть производится n независимых опытов. Если вероятность наступления события Aв последовательности независимых испытаний постоянна и равна p, то, каково бы ни было положительное число

, с вероятностью как угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе испытаний n разность по абсолютной величине окажется меньшей, чем :