Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 1 из 12)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Дипломная работа

"Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей"

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа 45 страниц, 3 рисунка, 2 таблицы, 10 источников.

Перечень ключевых слов: вероятность, классическое определение, математическое ожидание, закон больших чисел, событие, теория вероятностей.

Объектом исследования в данной работе являются: понятие вероятности, математического ожидания, закон больших чисел, а точнее динамика их развития.

Цель работы: проследить динамику развития указанных понятий и теоремы от простейших форм, до завершённых, современных. Это позволит понять и осмыслить сущность закона больших чисел (статистической закономерности), что играет важную роль с методической точки зрения.

Основными методами исследования в этой области являются: изучение историко-математической литературы, аналитический метод исследования.

В результате проведённого исследования можно сделать такие выводы: развитие понятий вероятности и математического ожидания происходило скачкообразно. Это связано со многими факторами. В качестве примера можно привести такой фактор: с постановкой новых задач в теории вероятностей требовались и новые подходы к их решению, а это означало иногда пересмотр определений основных понятий, критическая их переоценка. С законом больших чисел таких изменений не происходило. Он плавно развивался от простейших форм до завершённых, современных. Это связано с тем, что изначально он был полностью осмыслен, сформулирован верно, поэтому его трудно было истолковать как-то иначе, или ложно. В связи с этим его смысловое значение не менялось с течением времени.

Полученные результаты могут быть использованы как наглядное пособие, прежде всего с целью осмысления указанных понятий и теоремы, для иллюстрации их исторического развития, как методическая помощь.

Содержание

Введение

1. Динамика развития понятия вероятности

1.1 Первые попытки введения понятия вероятности

1.2 Появление классического определения понятия вероятности

1.3 Первые попытки аксиоматического введения понятия вероятности

1.4 Появление аксиоматического определения понятия вероятности

2. динамика развития понятия математического ожидания

2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания

2.2 Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие

3. Закон больших чисел

3.1 Первоначальное осмысление статистической закономерности

3.2 Появление теорем Бернулли и Пуассона – простейших форм закона больших чисел

3.3 Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева

3.4 Закон больших чисел для зависимых случайных величин

3.5 Усиление закона больших чисел. Появление необходимого и достаточного условий закона больших чисел

Заключение

Список источников

Введение

В истории теории вероятностей можно выделить следующие этапы.

1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в дали веков, ставились и примитивно решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Идёт накопление материала. Этот период кончается в XVI в. работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др.

2. Возникновение теории вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание. Устанавливаются первые теоремы-теоремы сложения и умножения вероятностей. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается от середины XVII в. до начала XVIII в. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 г.). Это первая работа, в которой была строго доказана предельная теорема – простейший случай закона больших чисел. Теорема Бернулли дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона и др.; теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания. Центральное место в этом периоде занимают предельные теоремы.

4. Следующий период развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать такие имена, как Чебышев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. В этот период распространение закона больших чисел и центральной предельной теоремы на различные классы случайных величин достигает своих естественных границ. Законы теории вероятностей стали применяться к зависимым случайным величинам. Всё это дало возможность приложить теорию вероятностей ко многим разделам естествознания, в первую очередь – к физике. Возникает статистическая физика, которая развивается во взаимосвязи с теорией вероятностей.

5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим областям науки, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему её основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств, а через неё-с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей, начиная от хозяйственно – прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими вопросами кибернетики. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX в., когда была опубликована, и получила всеобщее признание аксиоматика А.Н. Колмогорова.

В последние время наметились новые подходы к основным понятиям теории вероятностей. Об этом свидетельствует появление теории надёжности, теории информации, теории массового обслуживания и т.п.

Мы же рассмотрим динамику развития определения понятия вероятности; такого понятия в теории вероятностей, как математическое ожидание, а также известного закона больших чисел.

Проследив развитие этих понятий от простейших представлений до законченных и обдуманных их форм, мы сможем глубже понять их смысл, что, несомненно, важно с методической точки зрения.

1. Динамика развития понятия вероятности

1.1 Первые попытки введения понятия вероятности

Рассмотрим, как развивалось понятие вероятности.

Д. Кардано (1501–1576 гг.) в своей работе «Книги об игре в кости» вплотную подошёл к определению понятия вероятности через отношение равновозможных событий [1].

«Итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, какими могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможностей выпадений; приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных условиях».

Кардано в этом отрывке говорит, что если возможное число испытаний равно n, а число благоприятных испытаний – m, то ставки должны быть в отношении

(речь идёт о разделении ставки, т.к. учёных того времени очень волновал этот вопрос, многие из них пытались решать эту задачу).

В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья делается попытка выделить новое понятие вероятности – отношение шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.

Надо отметить, что понятием вероятностиактивно пользовались учёные того времени, не определяя его а понимая его интуитивно. Паскаль и Ферма в письмах друг другу использовали понятие вероятности в скрытой форме, не обликая его в конкретное определение.

Гюйгенс (1629–1695 гг.) в своей книге «О расчётах в азартных играх» выделил понятие «шанс», которое по существу, есть ещё не очень осознанное понятие вероятности [2]. Во введении Гюйгенс пишет: «Хотя в играх, основанных на чистом случае, результаты являются неизвестными, однако шанс игрока на выигрыш, или на проигрыш имеет определённую стоимость. Например, если кто-нибудь держит пари, что он выбросит при первом бросании одной кости шесть очков, то неизвестно, выиграет ли он или проиграет, но что является определённым и поддающимся исчислению это то, насколько его шансы проиграть пари превосходят его шансы на выигрыш пари».

Т. Байес (1702–1761 гг.) в своей работе, опубликованной в «Философских трудах» за 1763 г. Р. Прайсом под названием «Опыт решения задачи по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества, сообщено мистером Прайсом в письмах Джону Кентону, магистру искусств, члену Королевского общества» ввёл наряду с другими определениями и определение понятия вероятности. Байес формулирует следующие определения.

1. Несколько событий являются несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление остальных.

2. События являются исключающими друг друга, если одно из них должно наступить, но оба одновременно наступить не могут.

3. Говорят, что событие не состоялось, если оно не наступает или, если наступает исключающее событие.

4. Говорят, что событие определено, если оно наступило или не наступило.