Смекни!
smekni.com

Дискретная математика (стр. 4 из 10)

Теорема 2. Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы ее ДНФ содержала в каждой элементарной конъюнкции некоторое высказывание и его отрицание.

Совершенные дизъюнктивные, конъюнктивные и полиномиальные нормальные формы представления переключательных (логических) функций. Многообразие формул, посредством которых может быть выражена любая логическая функция, определяет многообразие форм логических функций, т. е. способов их записи путем применения к переменным и их группам элементарных логических операций. Наиболее удобными для практического использования оказываются совершенные нормальные формы представления сложных логических функций. В алгебре логики доказывают, что любая логическая функция F (A, B, C,…, N) может быть представлена только одной совершенной дизъюнктивной нормальной формой (кроме константы нуль) или только одной совершенной конъюнктивной нормальной формой (кроме константы единица).

Пусть функция X=F (A, B, C) задана таблицей 4. Запись функции Х в виде логической суммы (дизъюнкции) логических произведений (конъюнкций) переменных, для которых значение функции Х равно 1, и является совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) представления логической функции.

Таблица 4

A B C X
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

СДНФ логической функции следует находить в такой последовательности:

1) составить произведения переменных для строк таблицы истинности, в которых Х равна 1. Если значение переменной (А, В или С) в строке равно 0, то в произведении записывается отрицание этой переменной;

2) написать сумму произведений, для которых функция Х равна 1. Полученная сумма и является СДНФ. В общем виде

, (1)

Это правило называют правилом записи переключательной функции по единицам. Согласно этому правилу, данные табл. 4 описываются аналитическим выражением, связывающим все наборы переменных, для которых Х=1, в виде:

. (2)

Запись функции Х в виде логического произведения (конъюнкции) логических сумм (дизъюнкций) переменных, для которых функция Х равна 0, является совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) представления логической функции.

Для табл. 4 аналитическое выражение в СДНФ, связывающее все наборы переменных, для которых Х=0, имеет вид:

. (3)

Для представления логической функции Х в СКНФ произведем операцию отрицания левой и правой частей равенства (3)

и на основании законов двойного отрицания и инверсии

. (4)

СКНФ логической функции, согласно (4), следует находить в такой последовательности:

1) составить логические суммы переменных для строк таблицы истинности, в которых функция Х равна 0. Если значение переменной (А, В или С) в строке равно 1, то в сумме записывается отрицание этой переменной;

2) написать логическое произведение составленных логических сумм. Полученное произведение и является СКНФ. В общем виде:


, (5)

где Fi – сложные дизъюнкции.

Это правило также называют правилом построения переключательной функции по нулям.

Кроме представления функций в виде СДНФ и СКНФ используют и совершенную полиномиальную нормальную форму СПНФ. Вместо дизъюнкции может быть записана функция сложения по модулю два (сумма Жегалкина):

, (6)

где Fi – сложные конъюнкции.

Существует специальная таблица, в которой все элементарные логические операции от двух аргументов представлены в двух совершенных нормальных формах.

Нормальные формы представления переключательной функции иногда называют стандартными (табл. 5).

Таблица 5

f A0011B0101 Название функции Обозначение функции СДНФ СКНФ
f0 0000 Константа нуль 0 Не имеет
f1 0001 Логическое произведение, конъюнкция
f2 0010 Функция запрета по В
f3 0011 Переменная А
f4 0100 Функция запрета по А
f5 0101 Переменная В
f6 0110 Сумма по мо дулю 2, логическая неравнозначность
f7 0111 Логическое сложение, дизъюнкция
f8 1000 Операция (стрелка) Пирса, операция Вебба
f9 1001 Эквивалентность, логическая равнозначность
f10 1010 Инверсия В
f11 1011 Импликация от В к А
f12 1100 Инверсия А
f13 1101 Импликация от А к В
f14 1110 Операция (штрих) Шеффера
f15 1111 Константа единица 1
Не имеет

Многочленом Жегалкина называется многочлен, являющийся суммой константы 0 или 1 и различных одночленов, в которые все переменные входят не выше, чем в первой степени.

Теорема. Любая функция булевой алгебры может быть представлена, и притом единственным образом, с помощью полинома Жегалкина вида