Дифференциальное исчисление (стр. 5 из 5)

Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х₀ – некоторая точка интервала (a; b).

Предел

называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается f ′ (x₀). Таким образом, по определению:

f ′ (x₀) =

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ нужно:

1) Найти f(x) - f(x₀);

2) составить разностное отношение

;

3) вычислить предел разностного отношения при

:

.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x₀ дифференцируема, т.е. существует предел:

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где

. Домножим равенство на (х – х₀), находим, что дифференцируемая в точке x₀ функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где

. Переходя к пределу при в равенстве получаем:

.

Последнее формула означает непрерывность функции f(x) в точке x₀.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом, непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

2. Задание на дом: повторение темы, № 229, 235, 238

3. Заключительное слово преподавателя: Прощаюсь с учениками.