(22°) Вычислимцифру(11nU')k+3:
[так как числа (11u')(k+2)и u*'(k+2)отличаются только k+2-ми цифрами на величину
(11u')k+2), то на эту величину будут отличаться и цифры (11nU')k+3и U*'k+3, это означает,
что цифра (11nU')k+3будет на (11u')k+2 превышать цифру U*'k+3 (см. 0.2°)]
(11nU')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2)1 = (U*'k+3 + u'k+1)1.
(23°) ОткудаU*'k+3 = U' k+3 – u'k+1.
(24°) Вычислим цифру U*''k+3:
U*'' k+3 = v* = (uk+2 + uk+1)1– (–1, 0или1) – см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру (U*'k+3 + U*''k+3)1:
(U*'k+3 + U*''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3)1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3)1 =
(см. 23° и 24°) = (– u'k+1 + v* –v) = (см. 18° и 10°) =
= (– u'k+1 + [uk+2 + uk+1– (–1, 0или1)]–[uk+2 – (–1, 0или1)])1 =
= (– u'k+1 +uk+1+ (–2, –1, 0, 1, или2))1 = (см. 3a°) =
( u''k+1+ (–2, –1, 0, 1, или2))1 = (см. 6°) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8) №0,
что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство.
Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]:b(или c) = ntb', где b1 = 0 и bt+1 = b'1№ 0.
(26°) Введем число u = c – a > 0, где u(nt – 1) = 0,а unt? 0 (см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d1n (с целью превратить цифру unt в 5)
(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u' = a(nt – 1) – c(nt – 1), u'' = (a – a(nt – 1)) – (c – c(nt – 1)) (где, очевидно, u''nt = (ant – cnt)1);
U' = a(nt)n + bn – c(nt)n (гдеU'(nt + 1) = 0– см. 1° и 26°),U'' = (an – a(nt)n) – (cn – c(nt)n),
U*' = a*(nt)n + b*n – c*(nt)n (гдеU*'(nt + 1) = 0),U*'' = (a*n – a*(nt)n) – (c*n – c*(nt)n),
v = ant+1 – cnt+1.
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bnnt+1и bnnt+2при умножении равенства 1° на 11nне меняются (т.к. 11n(3) = 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
==================
§1. Если числа a, b, c не имеют общих сомножителей и b1 =(c – a)1 = 0,
тогда из числа R = (cn – an)/(c – a) =
= cn –1 + cn –2a + cn –3a2 + … c2an - 3 + can - 2 + an - 1 =
= (cn –1 + an –1) + ca(cn –3 + an –3) + … + c(n –1)/2a(n –1)/2 =
= (cn –1 – 2c(n –1)/2a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2a(n –1)/2) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2a(n –3)/2) +
+ … + c(n –1)/2a(n –1)/2 = (c – a)2P + nc(n –1)/2a(n –1)/2 следует, что:
c – a делится на n2, следовательно R делится на n и не делится на n2;
так как R > n, то число R имеет простой сомножитель r не равный n;
c – a не делится на r;
если b= ntb', где b'1№ 0, то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn.
§2. Лемма. Все n цифр (a1di)1, где di = 0, 1, … n – 1, различны.
Действительно, допустив, что (a1d1*)1 = (a1d1**)1, мы находим: ((d1* – d1**)a1)1 = 0.
Откуда d1* = d1**. Следовательно, множества цифр a1 (здесь вместе с a1 = 0) и d1 совпадают.
[Пример для a1 = 2: 0: 2x0 = 0; 1: 2x3 = 11; 2: 2x1 = 2; 3: 2x4 = 13; 4: 2x2 = 4.
При составном nЛемма несправедлива: в базе 10и (2х2)1 = 4, и (2х7)1 = 4.]
§2a. Следствие.Для любой цифры a1№ 0 cуществует такая цифра di, что (a1di)1 = 1.
[Пример для a1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1; 2x3 = 11; 3x2 = 11; 4x4 = 31.]
ВИКТОР СОРОКИН
e-mail:victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5, 7 аналогично, но в (3°) цифра uk+1превращается не в 5, а в 1, и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11n, а на некоторое hn, где h – некоторое однозначное число.