Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c) не равна 0 (числа U' и U'' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
В.С.
ВИКТОР СОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10.
[Все случаи с составным n, кроме n = 2k (который сводится к случаю n = 4), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
ak– k-я цифра от конца в числе a (a1 – последняя цифра).
[Примердля a = 1043: 1043 = 1x53 + 0x52 + 4x51 + 3x50; a1 = 3, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1.]
a(k) – окончание (число) из k цифр числа a (a(1) = a1; 1043(3) = 043). Везде в тексте a1№ 0.
[Если все три числа a, b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn.]
(ain)1 = aiи(ain - 1)1 = 1 (см. Малую теорему Ферма для ai№ 0). (0.1°)
(n + 1)n = (10 + 1)n = 11n = …101(см. Бином Ньютона для простого n).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s№ 1 [a1№ 0]:
если цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n,
то цифра ans+1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n, или d – n). (0.2°)
[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°) Допустим, что an + bn – cn = 0 .
Случай 1:(bc)1? 0.
(2°) Пусть u = a + b – c, где u(k) = 0, uk+1? 0,k > 0[известно, что в 1° u > 0 иk > 0].
(3°) Умножим равенство 1° на число d1n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
цифру uk+1в 5. После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b – c, u(k) = 0,uk+1 = 5.
(1*°) И пусть a*n + b*n – c*n = 0, где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11n .
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u,u' = a(k) + b(k) – c(k),
u'' = u – u' = (a – a(k)) + (b – b(k)) – (c – c(k)), v = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1, u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k),
u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k)) + (b* – b*(k)) – (c* – c*(k)), 11u', 11u'',v* = (a*k+2 + b*k+2 – c*k+2)1,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) uk+1= (u'k+1 + u''k+1)1 =5;
(5°) u'k+1=(–1, 0или1) – таккак – nk <a'(k) < nk, – nk <b'(k) < nk, – nk <c'(k) < nk
и числа a, b, c имеют различные знаки;
(6°) u''k+1=(4, 5или6)(см. 3a° и 5°) [важно:1 < u''k+1< n – 1];
(7°) u'k+2= 0[всегда!] – так как \u'\ < 2nk;
(8°) u''k+2 = uk+2[всегда!];
(9°) u''k+2= [v + (ak+1 + bk+1 – ck+1)2]1, где (ak+1 + bk+1 – ck+1)2 = (–1, 0или1);
(10°) v =[uk+2 – (a(k+1) + b(k+1) – c(k+1))k+2]1 [где (a(k+1) + b(k+1) – c(k+1))k+2 = (–1, 0или1)] =
= [uk+2 – (–1, 0или1)]1;
(11°) u*k+1= uk+1 = 5 – т.к. u*k+1иuk+1– последние значащие цифры в числах u* и u;
(12°) u*'k+1= u'k+1 – т.к. u*'k+1иu'k+1– последние значащие цифры в числах u*' и u';
(13°) u*''k+1 = (u*k+1 – u*'k+1)1 = (3 – u*'k+1)1 = (4, 5или6)[важно:1 < u*''k+1< n – 1];
(14°) (11u')k+2= (u'k+2 + u'k+1)1(затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –
величина u'k+1 «уходит» в u*''k+2, поскольку u*'k+2 = 0);
(14a°) важно: числа (11u')(k+2)и u*'(k+2)отличаются только k+2-ми цифрами, а именно:
u*'k+2 = 0, но (11u')k+2№ 0 в общем случае;
(15°) (11u'')k+2 =(u''k+2 + u''k+1)1;
(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 = (u''k+2 + uk+1)1 = (u''k+2 + 5)1;
(16а°) к сведению: u*'k+2 = 0 (см. 7°);
(17°) u*''k+2 = (u*k+2 +1, u*k+2илиu*k+2 – 1)1 = (см. 9°) = (u''k+2 + 4,u''k+2 + 5 или u''k+2 + 6)1;
(18°) v* =[u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2]1
[гдеu*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 (см. 16°), а(a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1))k+2 = (–1, 0или1) –см. 10°] =
= [(uk+2 + uk+1)1– (–1, 0или1)]1.
(19°) ВведемчислаU' = (ak+1)n + (bk+1)n – (ck+1)n, U'' = (an + bn – cn) – U', U = U' + U'',
U*' = (a*k+1)n + (b*k+1)n – (c*k+1)n, U*'' = (a*n + b*n – c*n) – U*', U* = U*' + U*'';
(19а°) к сведению: U'(k+1) = U*'(k+1) = 0.
(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].
U = an + bn – cn =
= (a(k+1)+ nk+1ak+2 + nk+2Pa)n + (b(k+1) + nk+1bk+2 + nk+2Pb)n – (c(k+1) + nk+1ck+2 + nk+2Pc)n =
= (a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n) + nk+2(ak+2a(k+1)n - 1 + bk+2b(k+1)n - 1 – ck+2c(k+1)n - 1) + nk+3P =
= U' + U'' = 0, где
U' = a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n,
(20a°)U'' = nk+2(ak+2a(k+1)n -1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n -1) + nk+3P,
где(ak+2a(k+1)n -1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n -1)1 = (см. 0.1°)=
(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2)1=U''k+3=v (см. 4°).
(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3)1 = (U*'k+3 + U*''k+3)1 = 0.