© Н.М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
- количество членов прогрессии равно N;
- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа Nпри n– четном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]
U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
Приэтом:
V0i + U0i = N,
где V0iи U0i- i – тые члены прогрессий V0 иU0.
Приn– четном количество членов прогрессии V0равно количеству членовпрогрессииU0и равно:
K= 0,5∙n = 0,25·N. /1/
Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V3 = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа Nпри n– нечетном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
Приэтом:
V0i + U0i = N,
где V0iи U0i- i – тые члены прогрессий V0 иU0.
Приn–нечетном количество членов прогрессии V0равно количеству членовпрогрессииU0и равно:
К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2). /2/
Количество пар чисел V0i + U0iпрогрессий V0 иU0равно: П =К.
В общем случае обозначим:
Zpv – количество простых чисел в прогрессии V0;
Zsv -- количество составных чисел в прогрессииV0;
Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;
Zsu-- количество составных чисел в прогрессии U0;
Пs/v – количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0и простыхчисел прогрессииV0;
Пs/u– количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0 и простыхчисел прогрессии U0;
Пр --количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простыхчисел прогрессий V0иU0.
Очевидно, что:
П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ; /3/
Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.
Из анализа значений числа Nс использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N ≤ 116: Zpv> Zsu; Zpu > Zsv;
- для чисел N = 118…136: Zpv=Zsu; Zpu = Zsv;
- для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.
Составим прогрессии V0иU0для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, При соотношения между ними как для прогрессий V0иU0в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1.N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0iравно:
П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.
V0 ={ V01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V02 =[ 15 17 19 21 23] V03=[25 27]
U0 ={U01 = [119 117 115113 111 109107 ] U02 =[105 103101 99 97 ] U03=[95 93]
Пр * * * * * *
V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]
U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]
Пр * * * * *
V08 = [ 55 57 59 ] }.
U08 = [ 65 63 61 ] }.
Пр *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V0 и U0в целом имеем:
Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v=5, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u=1, Пр = 12.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 17 – 5 = 12;
Ru = Zpu - Пs/u= 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует:
Rv=Ru =Пр = 12.
Для подпрогрессий V01 иU01 имеем:
Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v=3, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 6 – 3 = 3; Ru = Zpu - Пs/u= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V02 иU02 имеем:
Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v=0, Пs/v =Пs/u= 0,
Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 3 – 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V04 иU04 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 1.
Для подпрогрессий V06 иU06 имеем:
Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V07иU07 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v=0, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u=1, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u= 2 – 1 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 1.
Для подпрогрессий V08иU08 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v=0, Пs/v =Пs/u= 0,
Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u=0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v= 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv= Ru = Пр = 1.
ПРИМЕР 2.N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 – нечетное число.
В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0iравно:
П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V0 ={V01= [ 1 3 5 7 9 ] V02= [ 11 13 15 17 19 21 23] »
U0 ={U01= [153 151149 147 145] U02= [143 141 139 137 135 133 131 ] »