Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 13 из 25)

Окончательный вывод в случае «-»: cиb – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.

********

«Новый» случай 28

(Отличающийся «новым свойством

» от случая 14: с = -С, b= -В, n= N,
K)

Случай 28. Случай «+».

с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

K(19),
K(19).


Окончательный вывод в случае «+»: cиb – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.

*********

Итак, уравнение (15)

, если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

а)

;
;
;
;

б)

;
;
;
.

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение

(
,
- натуральные числа, где
при
- натуральном) может иметь целые решения либо при
, либо при
.

************

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод 1. Уравнение (1)

(
,
- натуральные числа,
при
- натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах
,
и
таких, чтобы
- было четным,
и
- нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо

, либо
.

*******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение

(42), где

- натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c.(Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к.
=
= с +
b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).

При

«Исключением» являются
,
или
.

(При

«Исключением» являются, например,
или
,при которых а = 2 ивыполняется тождество
(этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = α2 – δ2 - четное число при α и δ– нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2δ + δ3 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения

(42), где
-
натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и

= ±3);

2. b =

3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и
=
3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2


**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для

доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении

такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя

простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при
простом. Имея дело с уравнением (44)
,
где
простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.