«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p(Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).
Вывод:Великая теорема Фермадля степени простом доказана.
********
Утверждение 2,
частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4
Часть 1
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая(Утверждения 2)
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числаa, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует: => (2).
Пусть
(3), где и β- целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β –нечетноечисло при cи b- нечетных.*********
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1,
где n1 и n2- произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):
= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠ 0, b≠ 0, т.е. (5),где k – целое число, отличное от нуля, т.к. cи b взаимно простыецелые числа (при – целое числоk - четное число, т.к.
пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k– четное число при ).Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> =>Откуда β = b2 + 2l-2k(8) - нечетное число(из (4)) при b– нечетном и 2l-2k- четном.
*********
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах
, которая в дальнейшем нам очень пригодится.*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и
. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:где
- целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла следующим образом:(12)
- нечетное число при - нечетном;(13)
- нечетное число при - нечетном;(14)
- нечетное число при - нечетном;(15)
- четное число.Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 иr=0 (при t =0
и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .*******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С = В = N = К,и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
********