Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 17 из 25)

(14)

(15′) ,

которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогда сумма

имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность

:

-
=>
.

Выразим из (31) и (16)

:

=>
(32)

=>
(33).

По условию

должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель
.

Т.о.,

имеют вид:

(34),
(35), а их сумма
.

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то

и
.

Из (15´) с учетом (20) выразим

:

, т.е.
(24´)
.

Т.о.,

,
,

где

, т.е.

,

,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму

:

т.к.

, т.е.
.

(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

,т.к. из (20) получается

.

Итак,

(28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим

=>
(29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):

, т.е.
(30´´).

Таким образом, уравнение

(11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´),
,

(28),
(24´)
,

где

- взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

(30´´´), =>
(30´´´),
(29´´´),
(28´),
=>b=
(28´),
(24),

где

- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К.

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12)

2. (12´)

(30´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29) (14´)
(29´)

(15)

(24) (15´)
(24´)

3. (12)

(30´´) 4. (12´)
(30´´´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29´´) (14´)
(29´´´)

(15´)

(24´) (15)
(24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C8. c2 = -C

b2 = - Bb2 = B b2 = - B b2 = B

= - N
= N
= - N
= N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),