которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма
имеет вид:Учитывая (10) и (15), можно получить разность
: - => .Выразим из (31) и (16)
: => (32) => (33).По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о.,
имеют вид: (34), (35), а их сумма .Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то
и .Из (15´) с учетом (20) выразим :
, т.е. (24´).Т.о.,
, ,где
, т.е. , ,выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к.
, т.е. .(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается .Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим
=> (29´´).Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
, т.е. (30´´).Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
(30´´), ,
(28), (24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), => (30´´´), (29´´´), (28´), =>b= (28´), (24),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С = В = N = К.Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12´)
(30´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29) (14´) (29´)(15) (24) (15´) (24´)
3. (12)
(30´´) 4. (12´) (30´´´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29´´) (14´) (29´´´)(15´) (24´) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C8. c2 = -C
b2 = - Bb2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12), (13´),