Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 19 из 25)
(15´) 
(24´) (15) 
(24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) cи bв верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо 
, либо 
, либо c и bне являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) 
(1), где 
- четное натуральное число, т.е. либо , либо .
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения 
(где
, q=2 q 
) - показатели четные при 
≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении 
целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам: | 
| > 2, | 
| > 2, | c 
| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4b 
и c 
=> в уравнении (1) при - четном числе b и c ,
т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) , где
≥2 - четноене имеет решений в попарно простых целых числах a, b, иcтаких, чтобы 
- было четным, 
и 
- нечетными целыми числами.2. «Утверждение 2»нами полностью доказано.
*******
Примечание
1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, гдеm= 2, распространяется и на показатель степениq=2mприm>2 – натуральном.
2. Если уравнение al+ b4 = c4, где
≥2 - четное, неразрешимо в попарно простыхцелых числахa, b, иc, то и уравнениеa4+ b4 = c4не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).Вывод :Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.
3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, cв уравнении al+ b4 = c4(
≥2 - четное), а, следовательно, в уравненииa4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не толькоупоминалось самим Ферма, но и им использовалось.На основанииВыводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение ( 
≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b= ± 1, либо c= ± 1.
*********
Часть первая(Утверждения 3)
Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
=> 
(2).
Пусть
(3), где 
и β- целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β –нечетноечисло при с и b– нечетных.******
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2- произвольные целые числа. Тогда