Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 2 из 25)

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для

- простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение

разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах
,
и
. И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа
,
и
не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:


(2),

где

- четное целое число, т.к.
и
- нечетные;

≠ 0, т.к.
и
- взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при
и
- нечетных,
- простом.

********

Примечание

То, что

- нечетное число при
и
- нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона

,
,
, … и тогда получим для
:

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для

:

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени

- простой можно доказать, что при
и
нечетных

(3)

- сумма нечетных
слагаемых, равная нечетному числу(Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть

(4),

где

- нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где

- четное число, которое можно представить в виде

(6),

где

- целое число (при
= 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е.
(7), где
- целое число (
),
- натуральное число.

Сумму же нечетных чисел

и
обозначим через
, т.е.

(8),

где

- целое число (
, т.к.
и
- взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим

и
:

=>
=>

Откуда (11)

- нечетное число при
- нечетном и
- четном, т.к.
, причем (12)
(явно) при
.

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)

- нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)

(явно) при

.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах

, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и

. Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где

- целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа
следующим образом:

(16)

- нечетное число при
- нечетном;

(17)

- нечетное число при
- нечетном;

(18)

- нечетное число при
- нечетном;

(19)

- четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 иr=0 (при t =0

и
- четные из (16) и (17), при r=0
= 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).