Доказательство
Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.
Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение
разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.Из уравнения (1) следует:
где
- четное целое число, т.к. и - нечетные; ≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю; - нечетное целое число при и - нечетных, - простом.********
Примечание
То, что
- нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома
Ньютона
, , , … и тогда получим для : - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.Для
: - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.Для степени
- простой можно доказать, что при и нечетных(3)
- сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу(Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).*******
Пусть
(4),где
- нечетное число (на основании (3)).Тогда уравнение (2) примет вид:
(5),где
- четное число, которое можно представить в виде (6),где
- целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению), (4) – нечетное число.Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:
, т.е. (7), где - целое число ( ), - натуральное число.Сумму же нечетных чисел
и обозначим через , т.е. (8),где
- целое число ( , т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).Из (7) и (8) определим
и : => =>Откуда (11)
- нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .********
Вывод:
На основании (8) и (11) имеем: (13)
- нечетное число;из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при
.Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах
, которая в дальнейшем нам очень пригодится.*******
Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и
. Учитывая соотношения (9) и (10), получим:Таким образом, получили следующее уравнение:
(15),где
- целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:(16)
- нечетное число при - нечетном;(17)
- нечетное число при - нечетном;(18)
- нечетное число при - нечетном;(19)
- четное число.Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать
t =0 иr=0 (при t =0
и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).