Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 20 из 25)

b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],

где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

=
, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c0, b0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. cи b взаимно простыецелые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

=>
=>

Откуда β = b2 + 2l-2k(8) - нечетное число(из (4)) при b– нечетном и 2l-2k- четном, т.к.

≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9)

- нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10)

пропорционально 2 (явно), т.е.
- четное число
.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах

, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и

. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

,

т.е.

(11),

где

- целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для
), могут быть выражены через другие целыечисла
следующим образом:

(12)

- нечетное число при
- нечетном;

(13)

- нечетное число при
- нечетном;

(14)

- нечетное число при
- нечетном;

(15)

- четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 иr=0 (при t =0

и
- четные из (12) и (13), при r=0
= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К ,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

Условие1 (начало).

с2 = С

b2 = B

= N

Случай «+».

(12+)

- нечетное число при
- нечетном;

(13+)

- нечетное число при
- нечетном;

(14+)

- нечетное число при
- нечетном;

(15+)

- четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел

в (12+), …, (15+) совпадают при
-нечетном
с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа

.

Попробуем найти сумму

, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

,

т.е.

=> (
) пропорционально 4,
откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

!

Т.е., вопреки «Выводу»,

является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при
-четном
.

Однако, если

- четное, то
(в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2)
и (1)
числа
- четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.

*******


Вывод. Следовательно, это уравнение (1)

в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых
отличных от нуля числах, где
- нечетное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному.Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (Cи В). Это свойство назовем «новым свойством

». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.


Условие 2 (начало).