Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 22 из 25)
По условию 
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о.,
имеют вид: 
, 
, а их сумма 
.Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то
=> 
.Из (15) с учетом (20) выразим
: 
, т.е. 
.Т.о.,
, 
, т.е. 
,выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму 
:
т.к. , т.е. 
.(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается 
(20′).
Итак, 
(28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=> 
.Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с2 (из (25)):
, т.е. 
.Таким образом, уравнение
(11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения: , ,
(28), ,
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´), => c = 
(30´), 
(29´) 
(28´), => b = 
1 (28´), 
(24´), где 
- взаимно простые нечетные целые числа.**********
Случай 3.
(12) 
(13′) 
(14) 
(15′) , которые также являются решениями уравнения (11).
Тогда сумма
имеет вид: 
Учитывая (10) и (15), можно получить разность
: 
- 
=> 
.Выразим из (31) и (16)
: 
=> 
(32) 
=> 
(33)По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о.,
имеют вид: 
(34), 
(35), а их сумма .Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то
и .Из (15´) с учетом (20) выразим 
:
, т.е. 
(24´).Т.о.
, 
, где , т.е. 
, 
,выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к.
, т.е. .(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается 
.Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим
=> 
(29´´).Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):