Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 24 из 25)

*********

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

(31´),

(29´´),

,
(24),

где

- взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11)

, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:

а)

; b
;
;
;

б)

;
;
;
.

**********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11)

, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а)

; b
;
;
;

б)

;
;
;
.

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результатполностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12)

2. (12´)

(30´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29) (14´)
(29´)

(15)

(24) (15´)
(24´)

3. (12)

(30´´) 4. (12´)
(30´´´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29´´) (14´)
(29´´´)

(15´)

(24´) (15)
(24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

1. (12)

2. (12´)

(30´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29) (14´)
(29´)

(15)

(24) (15´)
(24´)

3. (12)

(30´´) 4. (12´)
(30´´´)

(13´)

(28) (13)
(28´)

(14)

(29´´) (14´)
(29´´´)

(15´)

(24´) (15)
(24).

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

*********

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо

, либо
, либо
c и bне являются целыми числами, либо c и bчетные числа, чего не должно быть.

********


Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)

(1), где
- нечетное
натуральное число, т.е. либо
, либо
, которые таковыми и являются.

*******

Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.

В результате исследования уравнения (1), мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1)

(
≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2
m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах
,
и
таких, чтобы
- было четным,
и
- нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо

, либо
.

2. «Утверждение 3»нами полностью доказано.

*******

Примечание

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4при

≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m, где m > 2 – натуральном.

**********

На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость«Общего утверждения».