Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 3 из 25)

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20)

,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:

(21)

;

(22)

;

(23)

;

(24)

, где
- целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+)

= С - нечетное число при
- нечетном;

(17+)

= В - нечетное число при
- нечетном;

(18+)

= N - нечетное число при
- нечетном;

(19+)

= К - четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность

в (16+), …, (19+) совпадает при
-нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (очетности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа

.

Попробуем найти сумму

, воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

,

т.е.

пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5),
!

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»

является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при
-четном.

Однако, если

- четное, то
(в (16+) и (17+))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа
- четные
, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых

отличных от нуля числах.


*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)

есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениямиуравнения (15) являются следующие выражения
n,
:

Случаи «+» и «-».

(16±)

;

(17±)

;

(18±)

;

(19±)

.

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-)

;

(17-)

;

(18-)

;

(19-)

.

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма

пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»

является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при
-четном.

Однако, если

- четное, то
(16-) и (17-))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа
- четные
, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.

*******

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых

отличных от нуля числах.

*******

Примечание.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тосиbмогут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (Cи В). Это свойство назовем «новым свойством

». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с =B

b = С

n = N

«Новые» случаи«+» и «-».

(16´±) c

В

(17´±) b

С

(18±)

=±N

(19±)

=±К

И в этом случае сумма

пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-»

является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при
-четном.

Однако, если

- четное, то
(в ((16´±) и ((17´±))являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа
- четные
, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.