По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель
.
Т.о.,
Т.к. из (8)
Из (19) с учетом (29) выразим
Т.о.,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
Итак, .
Учитывая (35), получим
Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
,
,
,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
где
*******
Случай 3
Тогда сумма
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность
Выразим из (25) и (26′)
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель
.
Т.о.,
Т.к. из (8)
Из (19´) с учетом (29) выразим :
Т.о.,
где
т.е.
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к.
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
Итак, .
Учитывая (35´), получим
Теперь, с учетом ( ), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:
(39´´),