(40´),
(38), (41´), (33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.*******
Случай7
(16) (17´) (18´) (19´)Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :
=> (26´).Выразим из (25) и (26´)
: => => .По условию
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .Т.о., имеют вид:
(30´), (31´), а их сумма .Т.к. из (8)
, то => .Из (19´), с учетом (29), выразим :
, т.е. (33´).Т.о.,
, , т.е. (34´), (35´),выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :
т.к.
, т.е. (36´).(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где .Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34´), получим
=> (38´´´).Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):
, т.е. (41´´).Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:
(40),
(38´´´), (41´´), (33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.
(40´),
(38´´), , (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.*******
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .
Случай 9
(16) (17) (18´) (19)Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность
другим способом: => .Следовательно,
= => 2t = 4r( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = 2r(32´) => в (16) и (17) cиb– четные, чего не должно быть.Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.