Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 7 из 25)

(40´),

(38),

(41´),
(33´), где
- взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

(16)

(17´)

(18´)

(19´)

Тогда сумма

имеет вид:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность

:

=>
(26´).

Выразим из (25) и (26´)

:

=>

=>
.

По условию

должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель
.

Т.о.,

имеют вид:

(30´),
(31´), а их сумма
.

Т.к. из (8)

, то
=>
.

Из (19´), с учетом (29), выразим

:

, т.е.
(33´).

Т.о.,

,
, т.е.

(34´),

(35´),

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность

:

т.к.

, т.е.
(36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:

где
.

Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c= 1 (40).

Учитывая (34´), получим

=>
(38´´´)
.

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

, т.е.
(41´´).

Таким образом, уравнение

(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40),

(38´´´),

(41´´),
(33´), где
- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´),

(38´´),

,
(33), где
- взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)

, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а)

;
;
;
;

б)

;
;
;
.

А это в свою очередь означает, что и уравнение

при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при
, либо при
.

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность

другим способом:

=>
.

Следовательно,

=
=> 2t = 4r(
≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = 2r(32´) => в (16) и (17) cиb– четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых

решений.