Смекни!
smekni.com

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 9 из 25)

********

«Новый» случай 15

(Отличающийся «новым свойством

» от случая 1: с = С, b= -В, n= N,
K)

с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N(18),

K(19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательныерешения уравнения (15) в случае 8, т.е.

(40´),

(38´´),

,
(33),

где

- взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма

имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность

:

=>
.

Выразим из (25) и (26)

:

=>

=>
.

По условию

должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель
.

Т.о.,

имеют вид:

,
, а их сумма
.

Т.к. из (8)

, то
=>
.

Из (19) с учетом (29) выразим

:

, т.е.
.

Т.о.,

,
, т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с

:

т.к.

, т.е.
.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

,

т.к. из (29) вытекает

.

Итак,

.

Учитывая (34), получим

=>
.

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е.
.

Таким образом, уравнение

(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где
- взаимно простые нечетные целые числа,
ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и изследующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

K(19),
K(19).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb.

«Общие свойства для с иb»:

сb= -СВ, с – b= -С -В,с – b=

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

с(-b)= СВ, с+(b)= -С -В = .

Отсюда получаем квадратное уравнение

-
+
С В =0 => X1,2 = К

,

где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть

Х1 = -b= К +

=
+
=
+
=
+
= -В =>
b= В,

где на основании

и Х1 = - b= -

Х2= с = К-

=
-
=
-
=
-
= -С =>
с = - С,

где на основании (40´)

и Х2 =
Таким образом, мы получили случай 8: