Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток (стр. 2 из 5)

Для того, щоб оцінити похибку 2-ої похідної заміняємо

в першій заміні, у другій заміні .

Отже, для

а для

Користуючись цими розкладаннями, одержимо

Аналогічну формулу можна записати для похідної по у.

.

Аналогічно можна одержати оцінки для інших похідних.

Метод сіток

Ідея методу сіток відома давно ще за часів Ейлера. Однак, практичне використання цього методу наштовхувалося на серйозні труднощі, тому що одержання з його допомогою досить точного розв’язку крайової задачі звичайно приводило до колосальних систем алгебраїчних рівнянь, на розв’язок яких при ручному розрахунку були потрібні роки. Положення різко змінилося з появою електронних обчислювальних машин. Метод сіток допускає зручну реалізацію на ЕОМ, тому що застосування його зазвичай зводиться до масової повторюваності однорідних циклів. В даний час метод сіток є одним з найбільш ефективних методів розв’язку лінійних диференціальних рівнянь. Метод сіток (інакше метод скінчених різниць) для наближеного розв’язку крайових задач двовимірних диференціальних рівнянь полягає в наступному:

У плоскій області G, у якій розшукується розв’язок, будується сіткова область Gh, що складається з однакових осередків і наближає дану область G;

Задане диференціальне рівняння заміняється у вузлах побудованої сітки відповідним скінчено-різницевим рівнянням;

На підставі граничних умов установлюються значення шуканого розв’язку в граничних вузлах області Gh

Розв’язавши отриману систему скінчено-різницевих рівнянь, ми знайдемо значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто будемо мати чисельний розв’язок нашої задачі. Вибір сіткової області здійснюється в залежності від конкретної задачі, але у всіх випадках контур Гh сіткової області Gh варто вибирати так, щоб він якнайкраще апроксимував контур Г заданої області G. Сітка будується таким чином, щоб вузли (xi,yi) сітки Sh або належали області G, або відстояли від її границі Г на відстань меншому, ніж h. Точки (вузли) сітки Sh називаються сусідніми, якщо вони розміщені один від одного в напрямку осі Ох або осі Оу на відстань, що дорівнює кроку сітки h. Вузол Ah сітки Sh називається внутрішнім, якщо він належить області G, а всі чотири сусідніх з ним вузла – множині Sh; інакше він називається граничним. Граничний вузол сітки Sh називається вузлом першого роду, якщо він має сусідній внутрішній вузол цієї сітки, інакше граничний вузол називається вузлом другого роду. Внутрішні вузли і граничні вузли першого роду сітки Sh називаються розрахунковими точками. Граничні вузли другого роду не входять в обчислення і можуть бути вилучені із сітки.

На перший погляд процедура застосування методу сіток, що складається з трьох етапів, може здатися простою і легко реалізованою. Однак насправді це не так. Через велику розмаїтість типів і розмірів сіток, видів рівнянь у часткових похідних, граничних і початкових умов, можливих кінцево-різницевих апроксимацій цих рівнянь і методів їхнього розв’язку, чисельне розв’язку рівнянь у часткових похідних вимагає модифікацій алгоритму при розгляді кожного конкретного приклада.

Стійкість скінчено-різницевої схеми для розв’язку рівнянь параболічного типу (рівняння теплопровідності)

Як приклад рівняння параболічного типу розглянемо рівняння теплопровідності:

,

де u=u(x,t) – температура, t – час,

- довжина стрижня.

Для простоти покладемо, а=1.

Початкові і крайові умови:

,

и. .

При використанні скінчено-різницевої схеми для розв’язку крайової задачі виникає питання про стійкість такої схеми. Під цим розуміють наступне: скінчено-різницева схема називається стійкою, якщо малі похибки в процесі розв’язку загасають або у всякому разі залишаються малими при необмеженому збільшенні номера поточного шару.

Для рівняння

(3)

скінчено-різницева схема матиме вигляд:

. (4)

З'ясуємо умови стійкості з граничними і початковими умовами

(5)

Маємо:

і ,

де

, .

Переходячи до скінчених різниць у рівнянні (4), будемо мати:

=0 (6)

У граничних вузлах сітки

Г виконані такі умови:

, , .

Припустимо, що в точках початкового шару t=0 допущена помилка

, тобто

,

і нехай

- розв’язок рівняння (6):

. (7)

яке задовольняє граничним умовам, що містять помилку:

, , .

Нас цікавить, як зміниться похибка

при необмеженому зростанні номера j. Віднімаючи з рівняння (7) рівняння (6), для похибки одержимо скінчено-різницеве рівняння.

=0. (8)

На границі Г області маємо:

(8а)

Частковий розв’язок рівняння (8) будемо шукати у вигляді

, (9)

де числа

і p (р>0) підберемо так, щоб вираз (9) задовольняв рівнянню (8) і однорідним крайовим умовам.

.

Користуючись ними маємо:

,

звідки випливає, що pl=m

і (m=1,2,3……).

Отже,

.

Підставляючи цей вираз в рівняння (8), будемо мати:

(10)

Після перетворень рівняння (10) набуде вигляду:

.

Звідси

. (11)

Зауважимо, що

не залежить від точки ( ). Таким чином, для однорідного рівняння (8) одержуємо лінійно незалежні розв’язки вигляду:

(m=1,2,…....,n-1),

причому кожен розв’язок задовольняє однорідним крайовим умовам.

Лінійна комбінація цих розв’язків

(12)

також є розв’язком рівняння (8), що задовольняє при будь-яких значеннях коефіцієнтів

однорідним крайовим умовам. Ці коефіцієнти підбираються так, щоб виконувалася перша умова (8а), тобто щоб (і=1,2,…...,n-1).

Для стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми (6) необхідно, щоб при будь-яких значеннях постійних

функція , обумовлена рівністю (12), залишалася обмеженою при .