Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток (стр. 3 из 5)

Для цього досить, щоб для всіх m була виконана рівність:

.

Звідси

і (m=1,2,…...,n-1).

Остання нерівність буде виконана, якщо виконується умова:

. (13)

Отримані нерівності дають достатні умови стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми для змішаної задачі у випадку рівняння теплопровідності (параболічного типу).

Гіперболічний тип

Як приклад рівняння гіперболічного типу розглянемо рівняння коливань однорідної обмеженої струни:

,

де u=u(x,t) – зсув струни, t – час,

- координата довільної точки струни.

Для простоти покладемо, а=1.

Початкові і крайові умови:

.

и.

Схема стійка, якщо виконано умову Куранта k< h. Це означає, що малі похибки, що виникають, наприклад, при обчисленні розв’язку на першому шарі, не будуть необмежено зростати при переході до кожного нового тимчасового шару. При виконанні умов Куранта схема має рівномірну збіжність, тобто при h® 0 розв’язок різницевої задачі рівномірно прагне до розв’язку вихідної змішаної задачі.

Недолік схеми в тім, що як тільки обрана величина кроку сітки h у напрямку x, з'являються обмеження на величину кроку

за змінною t. Якщо необхідно зробити обчислення для великого значення величини T, то може знадобитися велика кількість кроків по змінній t. Зазначений недолік характерний для всіх явних різницевих схем.

Еліптичний тип

Як приклад рівняння еліптичного типу розглянемо задачу Дирихле (перша крайова задача для рівняння Лапласа

):

,

Крайова умова:

на колі

(Г) виконується .

Перепишемо систему рівнянь у вигляді, зручному для застосування методу простої ітерації:

для внутрішніх вузлів

ui,k= -

(14)

для граничных вузлів

(15)

Тут для внутрішніх вузлів використовувався п’ятиточковий шаблон, зображений. Припустимо, що gi,k<0. Розв’яжемо систему рівнянь відносно ui,k методом простої ітерації згідно з ітераційним процесом:

для внутрішніх вузлів

для граничних вузлів

р=0,1,2,…,

задане.

Доведено, що якщо gi,k<0, то послідовні наближення

збігаються до точного розв’язку різницевої схеми ui,k або системи рівнянь (14), (15) і має місце оцінка

max

i,k i,k

де q=max

.

i,k

Доведенняцьоготвердженняполягаєвперевірціумовизбіжностіметодупростоїітераціїдлясистемилінійнихрівнянь, прицьомумаєтьсянаувазі, щоневідомийвектор

утворюєелементи ui,k. Наприклад, компонентивектора можнаперенумеруватитакимчином: нехай тоді

x1= u1.1,

x 2 =u 2.1,…, x N1 = u N1.1;

x N1+1=u 2.1 x N1+2 =u 2.2,…, x 2N1 =u N1.2;

…………………………x N1N2 =u N1N2.

Відносно вектора

= різницева схема є системою лінійних рівнянь в матричному записі де матриця А має в кожному рядку не більше п’яти елементів

.........

........

А=...

... .. ...

...

... .. ...

.........

Це пов’язано з тим, що похідні в кожному внутрішньому вузлі (i,k) апроксимувались за п’ятьма сусідніми вузлами.

Розв’язання різницевих рівнянь при h 0 збігається до точного розв’язання крайової задачі зі швидкістю, яка визначається порядком апроксимації рівнянь та крайових умов. Таким чином, для точного розв’язання (u(x,y) ) оцінки похибки

max O(h2), h 0 (16)

i, k

Оцінка похибки (16) є справедливою, якщо точний розв’язок неперервно диференційований чотири рази в області G. Для областей з кутовими точками, наприклад прямокутника, взагалі кажучи, u(x,y)

. Але якщо гранична функція, тобто задовольняє в кутах спеціальні умови узгодження, то точний розв’язок u(x,y) і є вірною оцінка (16).

Для прямокутної області G=

такими умовами узгодження можуть бути:

достатня гладкість

;

функція

повинна задовольняти в кутах прямокутника диференціальне рівняння.

Оцінка похибки (8.96) має в основному теоретичне значення, оскільки містить константу С, яку практично важко визначити

max

ch2+ O(h2), h 0

i, k

Тому в реальних розрахунках використовується правило Рунге оцінки похибки, аналогічне тому, яке використовується в чисельному розв’язанні задачі Коші і розв’язанні звичайних диференціальних рівнянь. Робиться два варіанти розрахунку

з кроком h та ; тоді похибка має вигляд

max

max +О(h2)

і головна частина похибки визначається на вузлах,що збігаються.

Потрібно зазначити,що рівномірними прямокутними сітками найбільш зручно користуватиcя при розв’язанні задач у прямокутних областях. Якщо область має форму паралелограма(скошена система),то користуються координатами,осі яких паралельні сторонам цього паралелограма. Декартові прямокутні координати пов’язані з косокутними координатами

співвідношеннями , де а - кут між . У диференціальних виразах похідні за х та у замінюються похідними за . Усі похідні апроксимуються за допомогою центральних різниць. Якщо область має форму кола, зручно користуватись полярними координатами