Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток (стр. 4 из 5)

Наведемо деякі загальні зауваження. При чисельному розв’язанні крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних методом сіток можуть бути використані тільки різницеві схеми, які збігаються, оскільки в цьому разі можна розраховувати на отримання наближеного розв’язку задачі, достатньо близького до точного. Але й різницеві схеми, що збігаються не завжди можуть бути використані при практичному розв’язанні задачі, оскільки при використанні методу сіток при обчисленні значень граничних функцій та правої частини виникають похибки. Щоб ці похибки не спотворили істинного розв’язання різницевої схеми, остання повинна бути стійкою за граничними умовами і за правою частиною. При використанні нестійкої різницевої схеми спотворення істинного розв’язку тим сильніше, чим дрібніша сітка; при використанні ж великої сітки не можна розраховувати на те, що розв’язок різницевої схеми буде близький до точного розв’язку крайової задачі для диференціального рівняння в силу поганої різницевої апроксимації рівняння.

Крім того, під час розв’язання різницевої задачі в процесі розрахунків нам обов’язково доведеться округляти значення розв’язків у вузлах сітки. Ці помилки можуть значно спотворити картину розв’язання, тому необхідною вимогою є стійкість різницевої схеми що до помилок, які виникають в результаті округлення значень розв’язку у вузлах сітки. Оскільки помилки округлення значень розв’язку в вузлах сітки, принаймні, в найпростіших випадках можна компенсувати зміною правої частини різницевого рівняння, то особливо суттєвою є вимога до стійкості правої частини. Необхідно взяти до уваги й числовий алгоритм, який використовується для розв’язання різницевої схеми. Навіть у випадку, коли різницева схема стійка за граничними умовами і за правою частиною, при невдалому виборі алгоритму для розрахунку розв’язання цієї різницевої схеми може відбутися сильне накопичення обчислювальної похибки, у цьому разі нестійким буде сам процес розрахунку. Нестійкі алгоритми розрахунку практично непридатні у випадку дрібної сітки.

Вибір оптимального кроку

Припустимо, що межа абсолютної погрішності при обчисленні функції

в кожній точці задовольняє нерівність

(17)

Хай в деякій околиці крапки

похідні, через які виражаються залишкові члени, безперервні і задовольняють нерівностям

(18)

де

- деякі числа. Тоді повна погрішність (без урахування погрішностей округлення) не перевершує відповідно величин

Мінімізація по

цих величин приводить до наступних значень:

(19)

при цьому

(19а)

Якщо при вибраному для якої-небудь значенні

відрізок не виходить за межі околиці точки, в якій виконується відповідна нерівність (17), то знайдене є оптимальним і повна погрішність чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (19).

Дослідження точності

Дослідження точності одержаних виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості убивання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки достатньо малий, то погрішність близька до першого відкинутого члена.

Таким чином порядок точності результату по відношенню до кроку сітку рівний числу залишених в ній членів, або іншими словами, він рівний числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. Тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ой похідної, рівне m+1; воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленном диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третиною і четвертую – лише задовільно. Більш високі похідні рідко вдається обчислити із задовільною точністю.

Структура похибки розв'язку задачі

Побудувавши математичну модель, намагаються знайти її розв'язок. Для складних прикладних задач, як правило, не існує точного розв'язку у вигляді явних формул або скінченої послідовності арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно. Тоді вдаються до чисельних методів — могутнього математичного засобу розв'язування задач. Найпростіші чисельні методи виникли і широко використовувалися задовго до появи ЕОМ. Але є багато прикладних задач, для яких знайти розв'язок без застосування ЕОМ практично неможливо. Сучасні швидкодіючі ЕОМ стали стимулом для розробки нових чисельних методів.

Застосовувати чисельні методи для розв'язування прикладних задач на базі ЕОМ треба обережно, оскільки точність знайденого розв'язку залежить від багатьох факторів. При цьому слід уміти оцінити похибку обчисленого розв'язку.

Похибка розв'язку задачі складається з похибки математичної моделі, неусувної похибки, похибки методу і обчислювальної похибки.

Похибка математичної моделі пов'язана з тим, що модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями. Тому треба мати уявлення про точність кінцевого результату, щоб спростити побудову математичної моделі.

Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі. Вона залежить від методу розв'язування задачі. Але, щоб правильно обрати метод і визначити точність обчислень, важливо знати межі неусувної похибки.

Похибка методу пов'язана з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або з обривом нескінченного ітераційного процесу після скінченої кількості ітерацій.

Знайти чисельно розв'язок у(х) в усіх точках відрізка [а;b] неможливо, оскільки їх безліч. Тому на відрізку [а;b] беруть скінчену кількість точок (хі = a+ih, i = 0,1.....п, а + пh<=b<a +(п + 1)h) і тільки

в них знаходять значення у(х). Початкове значення y(a)=y0 нам відоме. Для знаходження інших значень уi= у(хі) (i = 1,2,.., n) диференціальне рівняння розглядають не на всьому відрізку [a;b], а тільки в зазначених точках y’(xi)=f(xi,y(xi)).

Замінивши похідну у'(х) її наближеним значенням (уi+1 - уі)/h, дістають систему рівнянь

уi+1 - уі= пf(хі, уі), i = 0,1,2,...,n-1. (20)

Звідси послідовно знаходять y1, y2,… yn.

Якщо в рівняння (20) замість уi i уi+1 підставити точні значення розв'язку у(хi) і y(xi+i)> то рівності задовольняться лише наближено.

Похибку, яку дістають від заміни неперервної моделі дискретною, називають похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації),

Крім похибки дискретизації, існує інший тип похибки чисельних методів. В основі багатьох методів лежить ідея ітераційного процесу, в ході якого будується за певним правилом послідовність наближень до розв'язку задачі. Якщо ця послідовність має границю, коли кількість членів послідовності прямує до нескінченності, тоді ця границя буде розв'язком даної задачі. Але на ЕОМ можна обчислити тільки скінчену кількість членів послідовності. Похибку, спричинену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Похибку методу намагаються звести до величини, яка в кілька разів менша від похибки вхідних даних.

Отже, похибку чисельного методу можуть утворювати похибки дискретизації або похибки збіжності, або ж для деяких методів обидва типи похибок одночасно. Всі ці похибки, а також методи їх аналізу і регулювання розглядаються при побудові конкретних чисельних методів.

Обчислювальні похибки пов'язані з похибками округлення чисел. Обчислення, як ручні, так і на ЕОМ, виконують з певною кількістю значущих цифр. Це вносить у, результат похибку округлення, яка нагромаджується в ході обчислень. Похибки округлення можуть по-різному впливати на кінцевий результат. У результаті виконання мільйонів операцій, кожна з яких вносить невелику похибку, сумарна похибка округлень може значно перевищити шуканий результат обчислень. Але в окремих операціях похибки округлень можуть мати різні знаки і частково компенсувати одна одну. Тому, якщо немає систематичних причин, випадкове нагромадження похибок округлення незначне.

Систематичною причиною нагромадження похибок є, наприклад, віднімання близьких за величиною чисел, оскільки при малій абсолютній похибці чисел х1 і х2 відносна похибка (∆x1+∆x2)/|x1-x2| результату може стати великою.